Trokut, kvadrat, šesterokut - ove brojke su poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi što je pravilan poligon. Ali to su sve isti geometrijski oblici. Pravilan mnogokut je onaj koji ima jednake kutove i stranice. Takvih je brojki puno, ali sve imaju ista svojstva i za njih vrijede iste formule.
Svojstva pravilnih poligona
Svaki pravilni poligon, bilo da je kvadrat ili osmerokut, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo često se koristi pri konstruiranju figure. Osim toga, u poligon se može upisati i krug. U ovom slučaju, broj dodirnih točaka bit će jednak broju njegovih strana. Važno je da će kružnica upisana u pravilan poligon s njim imati zajedničko središte. Ovi geometrijski likovi podliježu istim teoremima. Bilo koju stranupravilnog n-kuta povezan je s polumjerom R kružnice koja je opisana oko njega. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a=2R ∙ sin180°. Kroz radijus kruga možete pronaći ne samo stranice, već i perimetar poligona.
Kako pronaći broj strana pravilnog poligona
Svaki pravilni n-kut sastoji se od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, tvore zatvorenu liniju. U ovom slučaju svi kutovi oblikovane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. Prva skupina uključuje trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više stranica. Oni također uključuju figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne mnogokute, stranice se nalaze upisivanjem u krug. Dajmo dokaz. Nacrtaj pravilan mnogokut s proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko njega. Navedite polumjer R. Sada zamislite da je zadan neki n-kut. Ako točke njegovih kutova leže na kružnici i jednake su jedna drugoj, tada se stranice mogu naći po formuli: a=2R ∙ sinα: 2.
Pronalaženje broja stranica upisanog pravilnog trokuta
Jednakostranični trokut je pravilan mnogokut. Za njega vrijede iste formule kao za kvadrat i n-kut. Trokut će se smatrati ispravnim ako ima stranice iste duljine. U ovom slučaju, kutovi su 60⁰. Konstruiraj trokut zadane duljine stranice a. Znajući njegovu medijanu i visinu,možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a \u003d x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Kako su sve strane trokuta jednake, dobivamo a=b=c. Tada će sljedeća tvrdnja biti istinita a=b=c=x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trokutu, ali x će biti zadana visina. Istodobno, treba ga projicirati strogo na osnovu figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranu a jednakokračnog trokuta koristeći formulu a \u003d b \u003d x: cosα. Nakon što pronađete vrijednost a, možete izračunati duljinu baze c. Primijenimo Pitagorin teorem. Tražit ćemo vrijednost polovice baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Tada je c=2xtanα. Evo jednostavnog načina da pronađete broj strana bilo kojeg upisanog poligona.
Izračunajte stranice kvadrata upisanog u krug
Kao i svaki drugi upisani pravilni poligon, kvadrat ima jednake stranice i kutove. Za njega vrijede iste formule kao i za trokut. Pomoću vrijednosti dijagonale možete izračunati stranice kvadrata. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala prepolovi kut. U početku je njegova vrijednost bila 90 stupnjeva. Tako nakon dijeljenja nastaju dva pravokutna trokuta. Njihovi osnovni kutovi bit će 45 stupnjeva. Prema tome, svaka strana kvadrata bit će jednaka, odnosno: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata ili baza pravokutni trokut nastao nakon dijeljenja. To nije jedini načinpronalaženje stranica kvadrata. Upišimo ovaj lik u krug. Znajući polumjer ove kružnice R, nalazimo stranu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način: a4=R√2. Polumjeri pravilnih poligona izračunavaju se po formuli R=a: 2tg (360o: 2n), gdje je a duljina stranice.
Kako izračunati opseg n-kuta
Obuj n-kuta je zbroj svih njegovih strana. Lako ga je izračunati. Da biste to učinili, morate znati vrijednosti svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam puno brže pronalaženje perimetra. Poznato je da svaki pravilan mnogokut ima jednake stranice. Stoga je za izračunavanje njegovog perimetra dovoljno poznavati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost stranice, a n broj kutova. Na primjer, da biste pronašli opseg pravilnog osmerokuta sa stranicom od 3 cm, trebate ga pomnožiti s 8, odnosno P=3 ∙ 8=24 cm. Za šesterokut sa stranicom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P=5 ∙ 6=30 cm. I tako za svaki poligon.
Pronalaženje opsega paralelograma, kvadrata i romba
Ovisno o tome koliko strana ima pravilan poligon, izračunava se njegov opseg. To uvelike olakšava zadatak. Doista, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju nije potrebno tražiti sve njegove strane, dovoljna je samo jedna. Po istom principu nalazimo perimetar načetverokuta, odnosno kvadrata i romba. Unatoč činjenici da su to različite figure, formula za njih je ista P=4a, gdje je a strana. Uzmimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada nalazimo opseg na sljedeći način: P=4 ∙ 6=24 cm Paralelogram ima samo suprotne strane. Stoga se njegov perimetar nalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati duljinu a i širinu b figure. Tada primjenjujemo formulu P=(a + c) ∙ 2. Paralelogram, u kojem su sve stranice i kutovi između njih jednaki, naziva se romb.
Pronalaženje opsega jednakostraničnog i pravokutnog trokuta
Obuj pravilnog jednakostraničnog trokuta može se naći po formuli P=3a, gdje je a duljina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijan. U pravokutnom trokutu samo su dvije stranice jednake. Osnova se može pronaći kroz Pitagorin teorem. Nakon što vrijednosti sve tri strane postanu poznate, izračunavamo opseg. Može se pronaći primjenom formule P \u003d a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je baza. Podsjetimo da je u jednakokračnom trokutu a \u003d b \u003d a, dakle, a + b \u003d 2a, zatim P \u003d 2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, pronađite njegovu bazu i perimetar. Vrijednost hipotenuze izračunavamo pomoću Pitagorinog teorema c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Sada izračunavamo opseg R=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kako pronaći kutove pravilnog poligona
Pravilni poligonjavlja se u našim životima svaki dan, na primjer, običan kvadrat, trokut, osmerokut. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-kut, morate znati vrijednost njegovih kutova. Ali kako ih pronaći? Čak su i antički znanstvenici pokušali izgraditi pravilne poligone. Pogodili su ih uklopiti u krugove. A onda su na njemu označene potrebne točke, povezane ravnim linijama. Za jednostavne brojke, problem konstrukcije je riješen. Dobivene su formule i teoremi. Na primjer, Euklid se u svom poznatom djelu "Početak" bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kute. Pronašao je načine da ih konstruira i pronađe kutove. Pogledajmo kako to učiniti za 15-gon. Najprije morate izračunati zbroj njegovih unutarnjih kutova. Potrebno je koristiti formulu S=180⁰(n-2). Dakle, zadan nam je 15-kut, što znači da je broj n 15. Podatke koje znamo zamijenimo u formulu i dobijemo S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutarnjih kutova 15-kuta. Sada trebamo dobiti vrijednost svakog od njih. Ukupno je kutova 15. Računamo 2340⁰: 15=156⁰. To znači da je svaki unutarnji kut 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete izgraditi običan 15-kut. Ali što je sa složenijim n-kutovima? Stoljećima su se znanstvenici borili da riješe ovaj problem. Pronašao ju je tek u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Uspio je napraviti 65537-gon. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.
Izračunavanje kutova n-kutau radijanima
Naravno, postoji nekoliko načina da pronađete kutove poligona. Najčešće se izračunavaju u stupnjevima. Ali možete ih izraziti i u radijanima. Kako to učiniti? Potrebno je postupiti na sljedeći način. Najprije saznamo broj stranica pravilnog poligona, a zatim od njega oduzmemo 2. Dakle, dobivamo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo s brojem n (“pi”=3, 14). Sada ostaje samo podijeliti rezultirajući proizvod s brojem kutova u n-kutu. Razmotrite ove izračune na primjeru iste petnaestostrane. Dakle, broj n je 15. Primijenite formulu S=p(n - 2): n=3, 14 (15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Ovo, naravno, nije jedini način izračunavanja kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti veličinu kuta u stupnjevima s brojem 57, 3. Uostalom, toliko stupnjeva je ekvivalentno jednom radijanu.
Izračunajte vrijednost kutova u stupnjevima
Osim stupnjeva i radijana, možete pokušati pronaći vrijednost kutova pravilnog poligona u stupnjevima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja kutova oduzmite 2, a dobivenu razliku podijelite s brojem stranica pravilnog poligona. Pronađeni rezultat množimo sa 200. Usput, takva mjerna jedinica kutova kao što je tuča praktički se ne koristi.
Izračun vanjskih kutova n-kuta
Za bilo koji pravilan poligon, osim za unutarnji, možete izračunati i vanjski kut. Njegova vrijednost se nalazi na isti način kao i za druge brojke. Dakle, da biste pronašli vanjski kut pravilnog poligona, trebateznati značenje unutarnjeg. Nadalje, znamo da je zbroj ova dva kuta uvijek 180 stupnjeva. Stoga radimo izračune na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg kuta. Pronalazimo razliku. Bit će jednak vrijednosti kuta koji se nalazi uz njega. Na primjer, unutarnji kut kvadrata je 90 stupnjeva, tako da će vanjski kut biti 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski kut može imati vrijednost od +180⁰ do -180⁰, respektivno.
