Matrice i determinante otkrivene su u osamnaestom i devetnaestom stoljeću. U početku se njihov razvoj odnosio na transformaciju geometrijskih objekata i rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Povijesno gledano, rani je naglasak bio na odrednici. U suvremenim metodama obrade linearne algebre prvo se razmatraju matrice. Vrijedi malo razmisliti o ovom pitanju.
Odgovori iz ovog područja znanja
Matrice pružaju teoretski i praktično koristan način rješavanja mnogih problema, kao što su:
- sustavi linearnih jednadžbi;
- ravnoteža čvrstih tijela (u fizici);
- teorija grafova;
- Leontiefov ekonomski model;
- šumarstvo;
- kompjuterska grafika i tomografija;
- genetika;
- kriptografija;
- električne mreže;
- fraktal.
Zapravo, matrična algebra za "lutke" ima pojednostavljenu definiciju. Izražava se na sljedeći način: ovo je znanstveno područje znanja u kojemdotične vrijednosti se proučavaju, analiziraju i u potpunosti istražuju. U ovom dijelu algebre proučavaju se različite operacije na matricama koje se proučavaju.
Kako raditi s matricama
Ove vrijednosti se smatraju jednakim ako imaju iste dimenzije i svaki element jednog je jednak odgovarajućem elementu drugog. Matricu je moguće pomnožiti s bilo kojom konstantom. To se zadano naziva skalarno množenje. Primjer: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrice iste veličine mogu se dodavati i oduzimati unosima, a vrijednosti kompatibilnih veličina mogu se množiti. Primjer: zbrojite dva A i B: A=[21−10]B=[1423]. To je moguće jer su A i B obje matrice s dva retka i istim brojem stupaca. Potrebno je svaki element iz A dodati odgovarajućem elementu u B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrice se oduzimaju na isti način u algebri.
Množenje matrice radi malo drugačije. Štoviše, može biti mnogo slučajeva i opcija, kao i rješenja. Ako pomnožimo matricu Apq i Bmn, tada je umnožak Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Unos u g-tom retku i h-tom stupcu AB je zbroj umnoška odgovarajućih unosa u g A i h B. Moguće je množiti dvije matrice samo ako je broj stupaca u prvom i redaka u drugom su jednaki. Primjer: ispuniti uvjet za razmatrane A i B: A=[1−130]B=[2−11214]. To je moguće jer prva matrica sadrži 2 stupca, a druga 2 retka. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Osnovne informacije o matricama
Dotične vrijednosti organiziraju informacije kao što su varijable i konstante i spremaju ih u retke i stupce, koji se obično nazivaju C. Svaka pozicija u matrici naziva se element. Primjer: C=[1234]. Sastoji se od dva reda i dva stupca. Element 4 nalazi se u retku 2 i stupcu 2. Obično možete imenovati matricu prema njezinim dimenzijama, ona pod nazivom Cmk ima m redaka i k stupaca.
Proširene matrice
Razmatranja su nevjerojatno korisne stvari koje se pojavljuju u mnogim različitim područjima primjene. Matrice su se izvorno temeljile na sustavima linearnih jednadžbi. S obzirom na sljedeću strukturu nejednakosti, potrebno je uzeti u obzir sljedeću dopunjenu matricu:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Zapišite koeficijente i vrijednosti odgovora, uključujući sve znakove minus. Ako je element s negativnim brojem, tada će biti jednak "1". Odnosno, s obzirom na sustav (linearnih) jednadžbi, moguće je pridružiti mu matricu (mrežu brojeva unutar zagrada). To je onaj koji sadrži samo koeficijente linearnog sustava. To se zove "proširena matrica". Mreža koja sadrži koeficijente s lijeve strane svake jednadžbe je "napunjena" odgovorima s desne strane svake jednadžbe.
Zapisi, tjB vrijednosti matrice odgovaraju vrijednostima x-, y- i z u izvornom sustavu. Ako je pravilno uređen, prije svega provjerite. Ponekad trebate preurediti pojmove ili umetnuti nule kao rezervirane mjesta u matrici koja se proučava ili proučava.
S obzirom na sljedeći sustav jednadžbi, možemo odmah napisati pridruženu proširenu matricu:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Prvo, svakako preuredite sustav kao:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Tada je moguće zapisati pridruženu matricu kao: [11000113-1012]. Prilikom formiranja proširenog, vrijedi koristiti nulu za bilo koji zapis gdje je odgovarajuće mjesto u sustavu linearnih jednadžbi prazno.
Matrična algebra: svojstva operacija
Ako je potrebno oblikovati elemente samo od vrijednosti koeficijenta, tada će razmatrana vrijednost izgledati ovako: [110011-101]. To se zove "matrica koeficijenata".
Uzimajući u obzir sljedeću proširenu matričnu algebru, potrebno ju je poboljšati i dodati pripadajući linearni sustav. S obzirom na to, važno je zapamtiti da zahtijevaju da varijable budu dobro raspoređene i uredne. I obično kada postoje tri varijable, koristite x, y i z tim redoslijedom. Stoga bi pridruženi linearni sustav trebao biti:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Veličina matrice
Dotične stavke često se spominju po njihovoj izvedbi. Veličina matrice u algebri je data kaomjerenja, budući da se soba može nazvati drugačije. Mjerene mjere vrijednosti su redovi i stupci, a ne širina i duljina. Na primjer, matrica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Budući da A ima tri retka i četiri stupca, veličina A je 3 × 4.
→
↓
Linije idu bočno. Stupovi idu gore-dolje. "Red" i "stupac" su specifikacije i nisu međusobno zamjenjive. Veličine matrice uvijek su specificirane s brojem redaka, a zatim brojem stupaca. Slijedeći ovu konvenciju, sljedeće B:
[123]
[234] je 2 × 3. Ako matrica ima isti broj redaka kao i stupci, tada se naziva "kvadrat". Na primjer, vrijednosti koeficijenta odozgo:
[110]
[011]
[-101] je kvadratna matrica 3×3.
Matrična notacija i oblikovanje
Napomena o oblikovanju: Na primjer, kada trebate napisati matricu, važno je koristiti zagrade . Trake apsolutne vrijednosti || se ne koriste jer imaju drugačiji smjer u ovom kontekstu. Nikada se ne koriste zagrade ili vitičaste zagrade {}. Ili neki drugi simbol grupiranja, ili ga uopće nema, jer ove prezentacije nemaju nikakvo značenje. U algebri, matrica je uvijek unutar uglastih zagrada. Mora se koristiti samo ispravan zapis, inače se odgovori mogu smatrati iskrivljenima.
Kao što je ranije spomenuto, vrijednosti sadržane u matrici nazivaju se zapisi. Iz bilo kojeg razloga, dotični elementi obično su napisanivelika slova, kao što su A ili B, a unosi su specificirani odgovarajućim malim slovima, ali s indeksima. U matrici A vrijednosti se obično nazivaju "ai, j", gdje je i redak A, a j stupac A. Na primjer, a3, 2=8. Unos za a1, 3 je 3.
Za manje matrice, one s manje od deset redaka i stupaca, indeksni zarez se ponekad izostavlja. Na primjer, "a1, 3=3" može se napisati kao "a13=3". Očito to neće raditi za velike matrice jer će a213 biti nejasan.
Vrste matrice
Ponekad se klasificiraju prema konfiguraciji zapisa. Na primjer, takva matrica koja ima sve nula unose ispod dijagonale gornje-lijevo-dolje-desno "dijagonale" naziva se gornji trokut. Između ostalog, mogu postojati i druge vrste i vrste, ali nisu baš korisne. Općenito, uglavnom se percipira kao gornji trokut. Vrijednosti s eksponentima koji nisu nula samo vodoravno nazivaju se dijagonalnim vrijednostima. Slični tipovi imaju unose različite od nule u kojima su svi 1, takvi se odgovori nazivaju identičnimi (iz razloga koji će postati jasni kada se nauči i shvati kako množiti dotične vrijednosti). Postoji mnogo sličnih pokazatelja istraživanja. Identitet 3 × 3 označen je s I3. Slično, 4 × 4 identitet je I4.
Matrična algebra i linearni prostori
Napominjemo da su trokutaste matrice kvadratne. Ali dijagonale su trokutaste. S obzirom na to jesukvadrat. I identiteti se smatraju dijagonalama i, stoga, trokutastim i kvadratnim. Kada je potrebno opisati matricu, obično se jednostavno specificira vlastita najspecifičnija klasifikacija, budući da to podrazumijeva sve ostale. Klasificirajte sljedeće mogućnosti istraživanja:kao 3 × 4. U ovom slučaju one nisu kvadratne. Dakle, vrijednosti ne mogu biti ništa drugo. Sljedeća klasifikacija:moguća je kao 3 × 3. Ali smatra se kvadratom i nema ništa posebno u tome. Klasifikacija sljedećih podataka:kao 3 × 3 gornji trokut, ali nije dijagonalni. Istina, u vrijednostima koje se razmatraju mogu postojati dodatne nule na ili iznad lociranog i naznačenog prostora. Klasifikacija koja se proučava je daljnja: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], gdje je predstavljena kao dijagonala i, osim toga, svi unosi su 1. Tada je ovo 3 × 3 identitet, I3.
Budući da su analogne matrice po definiciji kvadratne, trebate koristiti samo jedan indeks da biste pronašli njihove dimenzije. Da bi dvije matrice bile jednake, moraju imati isti parametar i iste unose na istim mjestima. Na primjer, pretpostavimo da se razmatraju dva elementa: A=[1 3 0] [-2 0 0] i B=[1 3] [-2 0]. Ove vrijednosti ne mogu biti iste jer se razlikuju po veličini.
Čak i ako su A i B: A=[3 6] [2 5] [1 4] i B=[1 2 3] [4 5 6] - još uvijek nisu isti ista stvar. A i B imaju svakišest unosa i također imaju iste brojeve, ali to nije dovoljno za matrice. A je 3×2. A B je matrica 2×3. A za 3×2 nije 2×3. Nije važno imaju li A i B istu količinu podataka ili čak iste brojeve kao zapisi. Ako A i B nisu iste veličine i oblika, ali imaju identične vrijednosti na sličnim mjestima, nisu jednaki.
Slične operacije u području koje se razmatra
Ovo svojstvo matrične jednakosti može se pretvoriti u zadatke za neovisno istraživanje. Na primjer, zadane su dvije matrice i naznačeno je da su jednake. U ovom slučaju, morat ćete koristiti ovu jednakost da istražite i dobijete odgovore za vrijednosti varijabli.
Primjeri i rješenja matrica u algebri mogu biti raznoliki, posebno kada su u pitanju jednakosti. S obzirom da se razmatraju sljedeće matrice, potrebno je pronaći x i y vrijednosti. Da bi A i B bili jednaki, moraju biti iste veličine i oblika. U stvari, oni su takvi, jer je svaka od njih 2 × 2 matrice. I trebale bi imati iste vrijednosti na istim mjestima. Tada a1, 1 mora biti jednako b1, 1, a1, 2 mora biti jednako b1, 2 i tako dalje. njih). Ali, a1, 1=1 očito nije jednako b1, 1=x. Da bi A bio identičan B, unos mora imati a1, 1=b1, 1, tako da može biti 1=x. Slično, indeksi a2, 2=b2, 2, dakle 4=y. Tada je rješenje: x=1, y=4. S obzirom da je sljedećematrice su jednake, potrebno je pronaći vrijednosti x, y i z. Da bi imali A=B, koeficijenti moraju imati sve unose jednake. To jest, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 i tako dalje. Konkretno, morate:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kao što možete vidjeti iz odabranih matrica: s 1, 1-, 2, 2- i 3, 1-elementima. Rješavajući ove tri jednadžbe, dobivamo odgovor: x=4, y=-6 i z=9. Matrična algebra i matrične operacije su različite od onoga na što su svi navikli, ali se ne mogu reproducirati.
Dodatne informacije u ovom području
Linearna matrična algebra je proučavanje sličnih skupova jednadžbi i njihovih transformacijskih svojstava. Ovo područje znanja omogućuje vam analizu rotacija u prostoru, aproksimaciju najmanjih kvadrata, rješavanje povezanih diferencijalnih jednadžbi, određivanje kružnice koja prolazi kroz tri zadane točke i rješavanje mnogih drugih problema iz matematike, fizike i tehnologije. Linearna algebra matrice zapravo nije tehnički smisao korištene riječi, to jest vektorski prostor v iznad polja f, itd.
Matrica i determinanta su izuzetno korisni alati linearne algebre. Jedan od središnjih zadataka je rješenje matrične jednadžbe Ax=b, za x. Iako bi se to teoretski moglo riješiti korištenjem inverznog x=A-1 b. Druge metode, kao što je Gaussova eliminacija, numerički su pouzdanije.
Osim što se koristi za opisivanje proučavanja linearnih skupova jednadžbi, navedenigornji izraz također se koristi za opisivanje određene vrste algebre. Konkretno, L nad poljem F ima strukturu prstena sa svim uobičajenim aksiomima za unutarnje zbrajanje i množenje, zajedno s distributivnim zakonima. Stoga mu daje više strukture od prstena. Linearna matrična algebra također dopušta vanjsku operaciju množenja skalarima koji su elementi temeljnog polja F. Na primjer, skup svih razmatranih transformacija iz vektorskog prostora V u sebe nad poljem F formira se nad F. Drugi primjer linearne algebra je skup svih realnih kvadratnih matrica nad poljem R realnih brojeva.
