Georg Kantor (fotografija je data kasnije u članku) njemački je matematičar koji je stvorio teoriju skupova i uveo koncept transfinitnih brojeva, beskonačno velikih, ali međusobno različitih. Također je definirao redne i kardinalne brojeve i stvorio njihovu aritmetiku.
Georg Kantor: kratka biografija
Rođen u St. Petersburgu 3.3.1845. Otac mu je bio Danac protestantske vjere, Georg-Valdemar Kantor, koji se bavio trgovinom, uključujući i burzu. Njegova majka Maria Bem bila je katolkinja i potjecala je iz obitelji istaknutih glazbenika. Kada se Georgov otac 1856. razbolio, obitelj se prvo preselila u Wiesbaden, a zatim u Frankfurt u potrazi za blažom klimom. Dječakov matematički talent pokazao se i prije njegovog 15. rođendana dok je studirao u privatnim školama i gimnazijama u Darmstadtu i Wiesbadenu. Na kraju je Georg Cantor uvjerio svog oca u svoju čvrstu namjeru da postane matematičar, a ne inženjer.
Nakon kratkog studija na Sveučilištu u Zürichu, 1863. godine Kantor prelazi na Sveučilište u Berlinu kako bi studirao fiziku, filozofiju i matematiku. Eto gaučio:
- Karl Theodor Weierstrass, čija je specijalizacija u analizi vjerojatno imala najveći utjecaj na Georga;
- Ernst Eduard Kummer, koji je predavao višu aritmetiku;
- Leopold Kronecker, teoretičar brojeva koji se kasnije suprotstavio Cantoru.
Nakon što je proveo jedan semestar na Sveučilištu u Göttingenu 1866., Georg je sljedeće godine napisao svoju doktorsku disertaciju pod naslovom "U matematici je umjetnost postavljanja pitanja vrijednija od rješavanja problema", o problemu koji je imao Carl Friedrich Gauss. ostao neriješen u svom Disquisitiones Arithmeticae (1801). Nakon što je kratko predavao u Berlinskoj školi za djevojke, Kantor je počeo raditi na Sveučilištu u Halleu, gdje je ostao do kraja života, prvo kao učitelj, od 1872. kao docent, a od 1879. kao profesor.
Istraživanje
Na početku serije od 10 radova od 1869. do 1873., Georg Cantor je razmatrao teoriju brojeva. Djelo je odražavalo njegovu strast prema temi, proučavanje Gaussa i Kroneckerov utjecaj. Na prijedlog Heinricha Eduarda Heinea, Cantorovog kolege u Halleu, koji je prepoznao njegov matematički talent, okrenuo se teoriji trigonometrijskih nizova, u kojoj je proširio pojam realnih brojeva.
Na temelju rada njemačkog matematičara Bernharda Riemanna o funkciji kompleksne varijable 1854. godine, Kantor je 1870. godine pokazao da se takva funkcija može predstaviti samo na jedan način - trigonometrijskim redovima. Razmatranje skupa brojeva (točaka) kojene bi proturječio takvom gledištu, doveo ga je, prvo, 1872. do definicije iracionalnih brojeva u smislu konvergentnih nizova racionalnih brojeva (razlomaka cijelih brojeva) i dalje do početka rada na svom životnom djelu, teoriji skupova i konceptu transfinitnih brojeva.
Teorija skupova
Georg Cantor, čija je teorija skupova nastala u korespondenciji s matematičarem Tehničkog instituta u Braunschweigu Richardom Dedekindom, bio mu je prijatelj od djetinjstva. Zaključili su da su skupovi, bili oni konačni ili beskonačni, zbirke elemenata (npr. brojeva, {0, ±1, ±2…}) koji imaju određeno svojstvo zadržavajući svoju individualnost. Ali kada je Georg Cantor upotrijebio korespondenciju jedan-na-jedan (na primjer, {A, B, C} do {1, 2, 3}) kako bi proučio njihove karakteristike, brzo je shvatio da se razlikuju po stupnju članstva, čak i ako su bili beskonačni skupovi, tj. skupovi, čiji dio ili podskup uključuje onoliko objekata koliko i sam. Njegova metoda je ubrzo dala nevjerojatne rezultate.
Godine 1873., Georg Cantor (matematičar) pokazao je da su racionalni brojevi, iako beskonačni, prebrojivi jer se mogu staviti u korespondenciju jedan prema jedan s prirodnim brojevima (tj. 1, 2, 3, itd.). d.). Pokazao je da je skup realnih brojeva, koji se sastoji od iracionalnih i racionalnih, beskonačan i neprebrojiv. Još paradoksalno, Cantor je dokazao da skup svih algebarskih brojeva sadrži onoliko elemenata kolikokoliko je skup svih cijelih brojeva i da su transcendentalni brojevi, koji nisu algebarski, koji su podskup iracionalnih brojeva, nebrojivi i stoga je njihov broj veći od cijelih brojeva i treba ih smatrati beskonačnim.
Protivnici i pristaše
Ali Kantorov rad, u kojem je prvi iznio ove rezultate, nije objavljen u Krellu, jer se jedan od recenzenata, Kronecker, žestoko protivio. Ali nakon intervencije Dedekinda, objavljen je 1874. pod naslovom "O karakterističnim svojstvima svih realnih algebarskih brojeva."
Znanost i privatni život
Iste godine, dok je bio na medenom mjesecu sa suprugom Wally Gutman u Interlakenu u Švicarskoj, Kantor je upoznao Dedekinda, koji je pozitivno govorio o njegovoj novoj teoriji. Jurjeva je plaća bila mala, ali je novcem oca koji je umro 1863. godine sagradio kuću za svoju ženu i petero djece. Mnogi od njegovih radova objavljeni su u Švedskoj u novom časopisu Acta Mathematica, koji je uredio i osnovao Gesta Mittag-Leffler, koji je među prvima prepoznao talent njemačkog matematičara.
Veza s metafizikom
Cantorova teorija postala je potpuno novi predmet proučavanja matematike beskonačnog (npr. serije 1, 2, 3, itd., i složeniji skupovi), koja je uvelike ovisila o međusobnoj korespondenciji. Kantorov razvoj novih metoda uprizorenjapitanja koja se tiču kontinuiteta i beskonačnosti, dala su njegovom istraživanju dvosmislen karakter.
Kada je tvrdio da beskonačni brojevi stvarno postoje, okrenuo se antičkoj i srednjovjekovnoj filozofiji o stvarnoj i potencijalnoj beskonačnosti, kao i ranom vjerskom obrazovanju koje su mu dali roditelji. Godine 1883., u svojoj knjizi Temelji opće teorije skupova, Kantor je kombinirao svoj koncept s Platonovom metafizikom.
Kronecker, koji je tvrdio da samo cijeli brojevi "postoje" ("Bog je stvorio cijele brojeve, ostalo je djelo čovjeka"), dugi niz godina oštro je odbijao njegovo razmišljanje i spriječio njegovo imenovanje na Sveučilište u Berlinu.
Transfinite numbers
U 1895-97. Georg Cantor je svoj pojam kontinuiteta i beskonačnosti, uključujući beskonačne redne i kardinalne brojeve, u potpunosti formirao u svom najpoznatijem djelu, objavljenom kao Prilozi uspostavljanju teorije transfinitnih brojeva (1915.). Ovaj esej sadrži njegov koncept, na koji ga je naveo demonstrirajući da se beskonačan skup može staviti u korespondenciju jedan na jedan s jednim od njegovih podskupova.
Pod najmanjim transfinitnim kardinalnim brojem on je mislio na kardinalnost bilo kojeg skupa koji se može staviti u korespondenciju jedan-na-jedan s prirodnim brojevima. Cantor je to nazvao aleph-null. Veliki transfinitni skupovi označavaju se alep-jedan, alep-dva itd. On je dalje razvio aritmetiku transfinitnih brojeva, koja je bila analogna konačnoj aritmetici. dakle, onobogatio koncept beskonačnosti.
Protivljenje s kojim se suočio i vrijeme koje je trebalo da njegove ideje budu u potpunosti prihvaćene posljedica su poteškoća u ponovnom vrednovanju drevnog pitanja što je broj. Cantor je pokazao da skup točaka na liniji ima veću kardinalnost od aleph-nula. To je dovelo do dobro poznatog problema hipoteze kontinuuma - nema kardinalnih brojeva između aleph-nula i snage točaka na liniji. Ovaj problem u prvoj i drugoj polovici 20. stoljeća izazvao je veliko zanimanje i proučavali su ga mnogi matematičari, uključujući Kurta Gödela i Paula Cohena.
Depresija
Biografija Georga Kantora od 1884. bila je zasjenjena njegovom mentalnom bolešću, ali je nastavio aktivno raditi. 1897. pomogao je održati prvi međunarodni matematički kongres u Zürichu. Djelomično zato što mu se Kronecker suprotstavljao, često je suosjećao s mladim matematičarima i nastojao je pronaći način da ih spasi od uznemiravanja učitelja koji su se osjećali ugroženi novim idejama.
Priznanje
Na prijelazu stoljeća, njegov je rad u potpunosti prepoznat kao osnova za teoriju funkcija, analizu i topologiju. Osim toga, knjige Cantora Georga poslužile su kao poticaj za daljnji razvoj intuicionističkih i formalističkih škola logičkih temelja matematike. To je značajno promijenilo nastavni sustav i često se povezuje s "novom matematikom".
Godine 1911. Kantor je bio među pozvanimaproslava 500. obljetnice Sveučilišta St. Andrews u Škotskoj. Otišao je tamo u nadi da će upoznati Bertranda Russella, koji se u svom nedavno objavljenom djelu Principia Mathematica više puta pozivao na njemačkog matematičara, ali to se nije dogodilo. Sveučilište je Kantoru dodijelilo počasnu diplomu, ali zbog bolesti nije mogao osobno primiti nagradu.
Kantor je umirovljen 1913., živio je u siromaštvu i gladovao tijekom Prvog svjetskog rata. Proslave u čast njegovog 70. rođendana 1915. godine otkazane su zbog rata, ali je mala svečanost održana u njegovom domu. Umro je 1918-06-01 u Halleu, u psihijatrijskoj bolnici, gdje je proveo posljednje godine života.
Georg Kantor: biografija. Obitelj
9. kolovoza 1874. njemački matematičar oženio se Wallyjem Gutmannom. Par je imao 4 sina i 2 kćeri. Posljednje dijete rođeno je 1886. u novoj kući koju je kupio Kantor. Očevo nasljedstvo pomoglo mu je uzdržavati obitelj. Kantorovo zdravlje uvelike je utjecalo na smrt njegovog najmlađeg sina 1899. godine, a depresija ga nije napustila od tada.
