Trapez je poseban slučaj četverokuta, u kojem je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapez" dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku razmotriti vrste trapeza i njegova svojstva. Osim toga, shvatit ćemo kako izračunati pojedinačne elemente ove geometrijske figure. Na primjer, dijagonala jednakokračnog trapeza, srednja crta, površina itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, tj. u lako dostupnom obliku.
Opće informacije
Prvo, shvatimo što je četverokut. Ova slika je poseban slučaj poligona koji sadrži četiri strane i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koji nisu susjedni nazivaju se suprotnim. Isto se može reći i za dvije nesusjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez ideltoid.
Dakle, natrag na trapez. Kao što smo već rekli, ova figura ima dvije strane koje su paralelne. Zovu se baze. Druge dvije (neparalelne) su stranice. U materijalima za ispite i razne testove često se mogu pronaći zadaci vezani uz trapeze, čije rješavanje često zahtijeva od studenta znanja koja nisu predviđena programom. Školski kolegij geometrije upoznaje učenike sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i središnje linije jednakokračnog trapeza. No uostalom, osim ovoga, spomenuti geometrijski lik ima i druge značajke. Ali više o njima kasnije…
Vrste trapeza
Postoji mnogo vrsta ove figure. Međutim, najčešće je uobičajeno uzeti u obzir dvije od njih - jednakokračne i pravokutne.
1. Pravokutni trapez je lik u kojem je jedna od stranica okomita na osnovice. Njezina dva kuta su uvijek devedeset stupnjeva.
2. Jednakokraki trapez je geometrijski lik čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su kutovi na bazama također u paru jednaki.
Glavni principi tehnike za proučavanje svojstava trapeza
Glavni princip je korištenje tzv. pristupa zadataka. Zapravo, nema potrebe uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tečaj geometrije. Mogu se otkriti i formulirati u procesu rješavanja raznih problema (boljih od sistemskih). Pritom je vrlo važno da učitelj zna koji su zadaci potrebni.staviti pred školarce u jednom ili drugom trenutku obrazovnog procesa. Štoviše, svako svojstvo trapeza može se predstaviti kao ključni zadatak u sustavu zadataka.
Drugi princip je takozvana spiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja na pojedinačne značajke zadanog geometrijskog lika. Tako ih učenici lakše pamte. Na primjer, svojstvo četiri točke. Može se dokazati kako u proučavanju sličnosti, tako i naknadno uz pomoć vektora. A jednaka površina trokuta koji su susjedni stranicama figure može se dokazati primjenom ne samo svojstava trokuta jednakih visina povučenih na stranice koje leže na istoj pravoj liniji, već i korištenjem formule S=1/ 2(absinα). Osim toga, možete razraditi sinusni teorem na upisanom trapezu ili pravokutni trokut na opisanom trapezu, itd.
Upotreba "izvannastavnih" značajki geometrijskog lika u sadržaju školskog predmeta je tehnologija zadatka za njihovo podučavanje. Stalno pozivanje na proučavana svojstva prilikom prolaska kroz druge teme omogućuje studentima dublje poznavanje trapeza i osigurava uspješnost rješavanja zadataka. Dakle, počnimo proučavati ovu divnu figuru.
Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza
Kao što smo već primijetili, stranice ovog geometrijskog lika su jednake. Također je poznat kao desni trapez. Zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime?Značajke ove figure uključuju činjenicu da su ne samo stranice i kutovi u bazama jednaki, već i dijagonale. Također, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza samo se oko jednakokračnog može opisati kružnica. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure 180 stupnjeva, a samo pod tim uvjetom može se opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo razmatranog geometrijskog lika je da će udaljenost od osnovnog vrha do projekcije suprotnog vrha na pravu koja sadrži ovu bazu biti jednaka središnjoj liniji.
Sada shvatimo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo rješenje ovog problema, pod uvjetom da su poznate dimenzije stranica figure.
Odluka
Obično se četverokut obično označava slovima A, B, C, D, gdje su BS i AD baze. U jednakokračnom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina X, a veličine baza Y i Z (manje, odnosno veće). Za izračun je potrebno povući visinu H iz kuta B. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AN kraci. Izračunavamo veličinu noge AN: od veće baze oduzimamo manju, a rezultat dijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Sada, za izračunavanje oštri kut trokuta, koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći zapis: cos(β)=H/F. Sada izračunavamo kut: β=arcos (H/F). Nadalje, poznavajući jedan kut, možemo odrediti idrugo, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi kutovi su definirani.
Postoji i drugo rješenje za ovaj problem. Na početku spuštamo visinu H od kuta B. Izračunavamo vrijednost BN noge. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata kateta. Dobivamo: BN \u003d √ (X2-F2). Zatim koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β=arctg (BN / F). Pronađen oštar kut. Zatim definiramo tupi kut slično prvoj metodi.
Svojstvo dijagonala jednakokračnog trapeza
Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale u jednakokračnom trapezu okomite, tada je:
- visina figure bit će jednaka zbroju osnova podijeljen s dva;
- njegova visina i srednja linija su jednake;
- površina trapeza bit će jednaka kvadratu visine (srednja linija, polovina zbroja baza);
- kvadrat dijagonale jednak je polovici kvadrata zbroja baza ili dvostrukom kvadratu srednje linije (visine).
Sada razmotrite formule koje određuju dijagonalu jednakokračnog trapeza. Ovaj blok informacija može se uvjetno podijeliti u četiri dijela:
1. Formula za duljinu dijagonale u smislu njezinih stranica.
Prihvaćamo da je A donja baza, B gornja baza, C jednake stranice, D dijagonala. U ovom slučaju, duljina se može odrediti na sljedeći način:
D=√(C2+AB).
2. Formule za duljinu dijagonale prema kosinusnom teoremu.
Prihvaćamo da je A donja baza, B gornja baza, C jednake stranice, D dijagonala, α (na donjoj bazi) i β (na gornjoj bazi)- trapezni kutovi. Dobivamo sljedeće formule pomoću kojih možete izračunati duljinu dijagonale:
- D=√(A2+C2-2ACcosα);
- D=√(A2+C2-2ACcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosα).
3. Formule za duljinu dijagonala jednakokračnog trapeza.
Prihvaćamo da je A donja baza, B gornja baza, D je dijagonala, M je srednja linija, H je visina, P je površina trapeza, α i β su kutove između dijagonala. Odredite duljinu koristeći sljedeće formule:
- D=√(M2+H2);
- D=√(H2+(A+B)2/4);
- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).
Za ovaj slučaj vrijedi jednakost: sinα=sinβ.
4. Formule za duljinu dijagonale u smislu stranica i visine.
Prihvaćamo da je A donja baza, B gornja baza, C su stranice, D je dijagonala, H je visina, α je kut na donjoj bazi.
Odredite duljinu koristeći sljedeće formule:
- D=√(N2+(A-Rctgα)2);
- D=√(N2+(V+Rctgα)2);
- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).
Elementi i svojstva pravokutnog trapeza
Pogledajmo što je zanimljivo u vezi s ovim geometrijskim likom. Kao što smo rekli, pravokutni trapez ima dva prava kuta.
Osim klasične definicije, postoje i druge. Na primjer, pravokutni trapez je trapez s jednom stranom okomitom na baze. Ili lik koji ima prave kutove sa strane. Ovajvrsta trapeza, visina je jednaka strani, koja je okomita na baze. Srednja linija je segment koji spaja sredine dviju strana. Svojstvo spomenutog elementa je da je paralelan s bazama i jednak polovici njihovog zbroja.
Sada pogledajmo osnovne formule koje definiraju ovaj geometrijski lik. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da su A i B baze; C (okomito na osnovice) i D - stranice pravokutnog trapeza, M - srednja linija, α - oštri kut, P - površina.
1. Bočna strana, okomita na baze, jednaka je visini figure (C \u003d H), a jednaka je umnošku duljine druge stranice D i sinusa kuta α s većom bazom (C \u003d Dsin α). Osim toga, jednak je umnošku tangente oštrog kuta α i razlike baza: S=(A-B)tgα.
2. Bočna stranica D (nije okomita na osnovice) jednaka je kvocijentu razlike između A i B i kosinusa (α) oštrog kuta ili kvocijenta visine lika H i sinusa oštrog kuta: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.
3. Bočna stranica, koja je okomita na osnovice, jednaka je kvadratnom korijenu razlike kvadrata D - druge stranice - i kvadrata razlike baza:
C=√(D2-(A-B)2).
4. Strana D pravokutnog trapeza jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata stranice C i kvadrata razlike baza geometrijskog lika: D=√(C2+(A-B)2).
5. Bočna strana C jednaka je količniku dijeljenja dvostruke površine zbrojem njegovih baza: C \u003d P / M \u003d 2P / (A + B).
6. Površina je određena umnoškom M (srednja crta pravokutnog trapeza) i visine odn.strana, okomita na baze: P \u003d MN \u003d MS.
7. Strana C jednaka je kvocijentu dijeljenja dvostruke površine figure umnoškom sinusa oštrog kuta i zbroja njegovih baza: C \u003d P / Msinα \u003d 2P / ((A + B)sinα).
8. Formule bočne strane pravokutnog trapeza u smislu njegovih dijagonala i kuta između njih:
- sinα=sinβ;
- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, gdje su D1 i D2 dijagonale trapeza; α i β su kutovi između njih.
9. Formule bočne strane kroz kut na donjoj bazi i drugim stranama: D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα.
Budući da je trapez s pravim kutom poseban slučaj trapeza, ostale formule koje definiraju ove figure također će odgovarati pravokutnom.
Svojstva upisane kružnice
Ako uvjet kaže da je kružnica upisana u pravokutni trapez, tada se mogu koristiti sljedeća svojstva:
- zbroj baza jednak je zbroju strana;
- udaljenosti od vrha pravokutne figure do dodirnih točaka upisane kružnice uvijek su jednake;
- visina trapeza jednaka je stranici, okomita na osnovice i jednaka promjeru kružnice;
- središte kružnice je točka u kojoj se sijeku simetrale kutova;
- ako je bočna strana podijeljena točkom dodira na segmente H i M, tada je polumjer kružnice jednak kvadratnom korijenu umnoška tih segmenata;
- četverokut koji čine tangentne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice jekvadrat čija je stranica jednaka polumjeru;
- površina figure jednaka je umnošku baza i umnoška polovice zbroja baza i njegove visine.
Sličan trapez
Ova tema je vrlo zgodna za proučavanje svojstava ove geometrijske figure. Na primjer, dijagonale dijele trapez na četiri trokuta, a oni koji su susjedni bazama su slični, a oni susjedni stranicama jednaki. Ovu tvrdnju možemo nazvati svojstvom trokuta na koje je trapez podijeljen svojim dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se kroz kriterij sličnosti u dva kuta. Da biste dokazali drugi dio, bolje je koristiti metodu ispod.
Dokaz teorema
Prihvaćamo da je lik ABSD (AD i BS baze trapeza) podijeljen dijagonalama VD i AC. Njihova točka presjeka je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj bazi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na stranicama. Trokuti SOD i BOS imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD osnovice. Dobivamo da je razlika između njihovih površina (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Dakle, PSOD=PBOS / K. Slično, BOS i AOB trokuti imaju zajedničku visinu. Za baze uzimamo segmente CO i OA. Dobivamo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB \u003d PBOS / K. Iz ovoga slijedi da je PSOD=PAOB.
Za konsolidaciju gradiva učenicima se savjetuje da pronađu vezu između površina dobivenih trokuta, na koje je dijagonala podijeljen trapez, rješavanjem sljedećeg zadatka. Poznato je dapovršine trokuta BOS i AOD su jednake, morate pronaći površinu trapeza. Budući da je PSOD \u003d PAOB, to znači da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2PSOD. Iz sličnosti trokuta BOS i AOD slijedi da je BO / OD=√ (PBOS / PAOD). Stoga je PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Dobivamo PSOD=√ (PBOSPAOD). Tada je PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.
Slična svojstva
Nastavljajući razvijati ovu temu, možemo dokazati druge zanimljive značajke trapeza. Dakle, koristeći sličnost, možete dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku formiranu presjekom dijagonala ovog geometrijskog lika, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, rješavamo sljedeći problem: potrebno je pronaći duljinu odsječka RK, koji prolazi točkom O. Iz sličnosti trokuta AOD i BOS slijedi da je AO/OS=AD/BS. Iz sličnosti trokuta AOP i ASB, slijedi da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Odavde dobivamo da RO \u003d BSAD / (BS + AD). Slično, iz sličnosti trokuta DOK i DBS, slijedi da je OK \u003d BSAD / (BS + AD). Odavde dobivamo da je RO=OK i RK=2BSAD/(BS+AD). Segment koji prolazi točkom presjeka dijagonala, paralelno s bazama i povezuje dvije stranice, podijeljen je točkom presjeka na pola. Njegova duljina je harmonijska sredina baza figure.
Razmotrimo sljedeće svojstvo trapeza, koje se zove svojstvo četiri točke. Točke presjeka dijagonala (O), sjecišta nastavka stranica (E), kao i sredine baza (T i W) uvijek leže na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Rezultirajući trokuti BES i AED su slični, i usvaki od njih, medijani ET i EZH dijele kut na vrhu E na jednake dijelove. Prema tome, točke E, T i W leže na istoj pravoj liniji. Na isti se način na istoj pravoj liniji nalaze točke T, O i G. Sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BOS i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i W - ležati na jednoj pravoj liniji.
Upotrebom sličnih trapeza od učenika se može tražiti da pronađu duljinu segmenta (LF) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment bi trebao biti paralelan s bazama. Budući da su dobiveni trapezi ALFD i LBSF slični, onda je BS/LF=LF/AD. Iz toga slijedi da je LF=√(BSBP). Dobivamo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina baza lika.
Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Prihvaćamo da je trapez ABSD segmentom EN podijeljen na dva slična. Iz vrha B izostavlja se visina, koja je segmentom EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2=(BS + EH)B1 / 2=(AD + EH)B2 / 2 i PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2, a druga (BS + EH)B1 \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da je B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1). Dobivamo da je duljina segmenta koji dijeli trapez na dva jednaka jednaka srednjem kvadratu duljine baza: √((BS2+AD2)/2).
Zaključci o sličnosti
Tako smo dokazali da:
1. Segment koji povezuje središnje točke bočnih strana na trapezu paralelan je s AD i BS i jednak jearitmetička sredina BS i BP (dužina baze trapeza).
2. Pravac koji prolazi točkom O presjeka dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednak harmonijskoj sredini brojeva AD i BS (2BSAD/(BS+AD)).
3. Segment koji dijeli trapez na slične ima duljinu geometrijske sredine baza BS i AD.
4. Element koji figuru dijeli na dva jednaka ima duljinu srednjih kvadrata brojeva AD i BS.
Za konsolidaciju gradiva i razumijevanje veze između razmatranih segmenata, učenik ih treba izgraditi za određeni trapez. On može lako prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala lika - paralelno s bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Ovaj odgovor će navesti učenika da otkrije željeni odnos između prosjeka.
Segment koji povezuje sredine dijagonala trapeza
Razmotrite sljedeće svojstvo ove figure. Prihvaćamo da je segment MH paralelan s bazama i da prepolovi dijagonale. Nazovimo tocke sjecista W i W. Ovaj ce segment biti jednak polurazlici baza. Analizirajmo ovo detaljnije. MSH - srednja linija trokuta ABS, jednaka je BS / 2. MS - srednja linija trokuta ABD, jednaka je AD / 2. Tada dobivamo da je ShSh=MSh-MSh, dakle, ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.
Centar gravitacije
Pogledajmo kako je ovaj element definiran za dati geometrijski lik. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Donju bazu potrebno je dodati gornjoj bazi - uobje strane, na primjer, udesno. A dno je produženo za duljinu vrha lijevo. Zatim ih povezujemo dijagonalom. Točka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom figure je težište trapeza.
Upisani i opisani trapezi
Napišimo značajke takvih figura:
1. Trapez se može upisati u krug samo ako je jednakokračan.
2. Trapez se može opisati oko kruga, pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih baza jednak zbroju duljina stranica.
Posljedice upisanog kruga:
1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dva polumjera.
2. Bočna strana opisanog trapeza promatra se iz središta kružnice pod pravim kutom.
Prvi zaključak je očigledan, ali za dokazivanje drugog potrebno je utvrditi da je kut SOD pravi, što, zapravo, također neće biti teško. Ali poznavanje ovog svojstva omogućit će korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.
Sada specificiramo ove posljedice za jednakokraki trapez, koji je upisan u krug. Dobivamo da je visina geometrijska sredina baza lika: H=2R=√(BSAD). Uvježbavajući glavnu tehniku rješavanja zadataka za trapeze (princip crtanja dvije visine), učenik mora riješiti sljedeći zadatak. Prihvaćamo da je BT visina jednakokračne figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gornju formulu, to ne bi trebalo biti teško.
Sada shvatimo kako odrediti polumjer kružnice pomoću površine opisanog trapeza. Ispuštanje iz vrha Bvisine do baze krvnog tlaka. Budući da je krug upisan u trapez, tada je BS + AD \u003d 2AB ili AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R. Dobivamo PABSD \u003d (BS + AD)R, slijedi da je R=PABSD / (BS + AD).
Sve formule srednje linije trapeza
Sada je vrijeme da prijeđemo na zadnji element ove geometrijske figure. Shvatimo koliko je jednaka srednja crta trapeza (M):
1. Prolazne baze: M=(A+B)/2.
2. Preko visine, baze i kutova:
• M=A-H(ctgα+ctgβ)/2;
• M=B+N(ctgα+ctgβ)/2.
3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:
M=D1D2sinα/2N=D1D2sinβ/2N.
4. Područje i visina: M=P / N.
