Mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke (tijela) koja visi na nerasteznoj bestežinskoj niti (njegova masa je zanemariva u usporedbi s težinom tijela) u jednoličnom gravitacijskom polju naziva se matematičko njihalo (drugi naziv je oscilator). Postoje i druge vrste ovog uređaja. Umjesto konca može se koristiti bestežinski štap. Matematičko njihalo može jasno otkriti bit mnogih zanimljivih pojava. Uz malu amplitudu titranja, njegovo kretanje se naziva harmonijskim.
Pregled mehaničkog sustava
Formulu za period osciliranja ovog njihala izveo je nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ovaj suvremenik I. Newtona jako je volio ovaj mehanički sustav. Godine 1656. stvorio je prvi sat s njihalom. Iznimno su mjerili vrijemeza ta vremena točnost. Ovaj izum postao je glavna prekretnica u razvoju fizičkih eksperimenata i praktičnih aktivnosti.
Ako je njihalo u ravnoteži (visi okomito), tada će sila gravitacije biti uravnotežena silom napetosti niti. Ravno njihalo na nerastezljivoj niti je sustav s dva stupnja slobode s vezom. Kada promijenite samo jednu komponentu, mijenjaju se karakteristike svih njezinih dijelova. Dakle, ako se nit zamijeni šipkom, tada će ovaj mehanički sustav imati samo 1 stupanj slobode. Koja su svojstva matematičkog njihala? U ovom najjednostavnijem sustavu kaos nastaje pod utjecajem periodične perturbacije. U slučaju kada se točka ovjesa ne pomiče, već oscilira, njihalo ima novi ravnotežni položaj. S brzim oscilacijama gore-dolje, ovaj mehanički sustav dobiva stabilan položaj naopako. Ona također ima svoje ime. Zove se Kapicino njihalo.
Svojstva njihala
Matematičko njihalo ima vrlo zanimljiva svojstva. Svi su oni potvrđeni poznatim fizikalnim zakonima. Period titranja bilo kojeg drugog njihala ovisi o različitim okolnostima, kao što su veličina i oblik tijela, udaljenost između točke ovjesa i težišta, raspodjela mase u odnosu na ovu točku. Zato je određivanje razdoblja visećeg tijela prilično težak zadatak. Mnogo je lakše izračunati period matematičkog njihala, čija će formula biti navedena u nastavku. Kao rezultat opažanja sličnihmehanički sustavi mogu uspostaviti sljedeće obrasce:
• Ako, zadržavajući istu duljinu njihala, objesimo različite utege, tada će period njihovih oscilacija biti isti, iako će njihove mase jako varirati. Stoga period takvog njihala ne ovisi o masi tereta.
• Prilikom pokretanja sustava, ako se njihalo odbije za ne prevelike, ali različite kutove, počet će oscilirati s istim periodom, ali s različitim amplitudama. Sve dok odstupanja od središta ravnoteže nisu prevelika, oscilacije će po svom obliku biti prilično bliske harmonijskim. Period takvog njihala ni na koji način ne ovisi o amplitudi titranja. Ovo svojstvo ovog mehaničkog sustava naziva se izokronizam (prevedeno s grčkog "chronos" - vrijeme, "isos" - jednak).
Period matematičkog njihala
Ovaj pokazatelj predstavlja razdoblje prirodnih oscilacija. Unatoč složenom tekstu, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je duljina niti matematičkog njihala L, a ubrzanje slobodnog pada g, tada je ova vrijednost:
T=2π√L/g
Period malih prirodnih oscilacija ni na koji način ne ovisi o masi njihala i amplitudi oscilacija. U ovom slučaju, njihalo se kreće poput matematičkog njihala smanjene duljine.
Ljuljačke matematičkog njihala
Matematičko njihalo oscilira, što se može opisati jednostavnom diferencijalnom jednadžbom:
x + ω2 sin x=0, gdje je x (t) nepoznata funkcija (ovo je kut odstupanja od donjegravnotežni položaj u vremenu t, izražen u radijanima); ω je pozitivna konstanta, koja se određuje iz parametara njihala (ω=√g/L, gdje je g ubrzanje slobodnog pada, a L duljina matematičkog njihala (ovjesa).
Jednadžba malih fluktuacija u blizini položaja ravnoteže (harmonična jednadžba) izgleda ovako:
x + ω2 sin x=0
Oscilatorna kretanja njihala
Matematičko njihalo koje stvara male oscilacije kreće se po sinusoidi. Diferencijalna jednadžba drugog reda zadovoljava sve zahtjeve i parametre takvog gibanja. Da biste odredili putanju, morate odrediti brzinu i koordinate iz kojih se zatim određuju nezavisne konstante:
x=grijeh (θ0 + ωt), gdje je θ0 početna faza, A je amplituda oscilacije, ω je ciklička frekvencija određena iz jednadžbe gibanja.
Matematičko njihalo (formule za velike amplitude)
Ovaj mehanički sustav, koji svoje oscilacije čini značajnom amplitudom, pokorava se složenijim zakonima gibanja. Za takvo njihalo, oni se izračunavaju po formuli:
sin x/2=usn(ωt/u), gdje je sn Jacobijev sinus, koji je za u < 1 periodična funkcija, a za mali u poklapa se s jednostavnim trigonometrijskim sinusom. Vrijednost u određena je sljedećim izrazom:
u=(ε + ω2)/2ω2, gdje je ε=E/mL2 (mL2 je energija njihala).
Određivanje perioda titranja nelinearnog njihalaprovodi se prema formuli:
T=2π/Ω, gdje je Ω=π/2ω/2K(u), K je eliptički integral, π - 3, 14.
Kretanje njihala duž separatrice
Separatrisa je putanja dinamičkog sustava s dvodimenzionalnim faznim prostorom. Matematičko njihalo giba se po njemu neperiodično. U beskonačno udaljenom trenutku pada iz krajnjeg gornjeg položaja na stranu s nultom brzinom, a zatim ga postupno podiže. Na kraju se zaustavlja, vraćajući se u prvobitni položaj.
Ako se amplituda oscilacija njihala približi broju π, to znači da se gibanje na faznoj ravnini približava separatrici. U ovom slučaju, pod djelovanjem male pogonske periodične sile, mehanički sustav pokazuje kaotično ponašanje.
Kada matematičko njihalo odstupi od ravnotežnog položaja pod određenim kutom φ, javlja se tangencijalna sila gravitacije Fτ=–mg sin φ. Znak minus znači da je ta tangencijalna komponenta usmjerena u suprotnom smjeru od otklona njihala. Kada se pomak njihala duž luka kružnice polumjera L označi s x, njegov je kutni pomak jednak φ=x/L. Drugi zakon Isaaca Newtona, dizajniran za projekcije vektora ubrzanja i sile, dat će željenu vrijednost:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Na temelju ovog omjera, jasno je da je ovo njihalo nelinearan sustav, budući da sila koja se želi vratitiravnotežnom položaju, uvijek je proporcionalan ne pomaku x, već sin x/L.
Samo kada matematičko njihalo čini male oscilacije, ono je harmonijski oscilator. Drugim riječima, postaje mehanički sustav sposoban izvoditi harmonijske vibracije. Ova aproksimacija praktički vrijedi za kutove od 15-20°. Oscilacije njihala s velikim amplitudama nisu harmonične.
Newtonov zakon za male oscilacije njihala
Ako ovaj mehanički sustav izvodi male vibracije, Newtonov 2. zakon će izgledati ovako:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Na temelju ovoga možemo zaključiti da je tangencijalno ubrzanje matematičkog njihala proporcionalno njegovom pomaku sa predznakom minus. To je uvjet zbog kojeg sustav postaje harmonijski oscilator. Modul proporcionalnog dobitka između pomaka i ubrzanja jednak je kvadratu kružne frekvencije:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Ova formula odražava prirodnu frekvenciju malih oscilacija ove vrste njihala. Na temelju toga, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Proračuni temeljeni na zakonu održanja energije
Svojstva oscilatornog gibanja njihala također se mogu opisati korištenjem zakona održanja energije. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da je potencijalna energija njihala u gravitacijskom polju:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Ukupna mehanička energijajednak kinetičkom ili maksimalnom potencijalu: Epmax=Ekmsx=E
Nakon što je napisan zakon održanja energije, uzmite derivaciju desne i lijeve strane jednadžbe:
Ep + Ek=const
Budući da je izvod konstantnih vrijednosti 0, tada je (Ep + Ek)'=0. Derivat zbroja jednak je zbroju derivacija:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, dakle:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Na temelju posljednje formule nalazimo: α=- g/Lx.
Praktična primjena matematičkog njihala
Ubrzanje slobodnog pada varira ovisno o geografskoj širini, budući da gustoća zemljine kore na cijelom planetu nije ista. Gdje se pojavljuju stijene veće gustoće, ona će biti nešto veća. Ubrzanje matematičkog njihala često se koristi za geološka istraživanja. Koristi se za traženje raznih minerala. Jednostavnim prebrojavanjem broja zamaha njihala možete pronaći ugljen ili rudu u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da takvi fosili imaju gustoću i masu veću od labavih stijena koje ih leže.
Matematičko njihalo koristili su istaknuti znanstvenici kao što su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih su vjerovali da ovaj mehanički sustav može utjecati na sudbinu i život osobe. Arhimed je u svojim proračunima koristio matematičko njihalo. U današnje vrijeme mnogi okultisti i vidovnjacikoristiti ovaj mehanički sustav za ispunjenje njihovih proročanstava ili traženje nestalih ljudi.
Čuveni francuski astronom i prirodoslovac K. Flammarion također je koristio matematičko njihalo za svoja istraživanja. Tvrdio je da je uz njegovu pomoć mogao predvidjeti otkriće novog planeta, pojavu Tunguskog meteorita i druge važne događaje. Tijekom Drugoga svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) radio je specijalizirani Institut Pendulum. Danas se sličnim istraživanjima bavi Münchenski institut za parapsihologiju. Zaposlenici ove ustanove svoj rad s njihalom nazivaju radiestezijom.
