Jednostavno i ukratko rečeno, opseg su vrijednosti koje svaka funkcija može uzeti. Kako biste u potpunosti istražili ovu temu, morate postupno rastaviti sljedeće točke i koncepte. Prvo, shvatimo definiciju funkcije i povijest njenog izgleda.
Što je funkcija
Sve egzaktne znanosti pružaju nam mnogo primjera gdje dotične varijable na neki način ovise jedna o drugoj. Na primjer, gustoća tvari u potpunosti je određena njezinom masom i volumenom. Tlak idealnog plina pri konstantnom volumenu varira s temperaturom. Ovi primjeri su ujedinjeni činjenicom da sve formule imaju ovisnosti između varijabli, koje se nazivaju funkcionalne.
Funkcija je koncept koji izražava ovisnost jedne veličine o drugoj. Ima oblik y=f(x), gdje je y vrijednost funkcije, koja ovisi o x - argumentu. Dakle, možemo reći da je y varijabla koja ovisi o vrijednosti x. Vrijednosti koje x može uzeti zajedno sudomenu zadane funkcije (D(y) ili D(f)), te prema tome vrijednosti y čine skup vrijednosti funkcije (E(f) ili E(y)). Postoje slučajevi kada je funkcija dana nekom formulom. U ovom slučaju, domena definicije sastoji se od vrijednosti takvih varijabli, u kojima zapis s formulom ima smisla.
Postoje podudarne ili jednake značajke. To su dvije funkcije koje imaju jednak raspon valjanih vrijednosti, kao i vrijednosti same funkcije jednake su za sve iste argumente.
Mnogi zakoni egzaktnih znanosti nazivaju se slično situacijama u stvarnom životu. Postoji tako zanimljiva činjenica i o matematičkoj funkciji. Postoji teorem o granici funkcije "u sendviču" između dva druga koja imaju istu granicu - o dva policajca. Objašnjavaju to ovako: budući da dva policajca vode zatvorenika u ćeliju između sebe, kriminalac je prisiljen otići tamo, a on jednostavno nema izbora.
Povijesna referenca značajke
Koncept funkcije nije odmah postao konačan i precizan, prošao je dug put postajanja. Prvo, Fermatov Uvod i proučavanje ravnih i čvrstih mjesta, objavljen krajem 17. stoljeća, navodi sljedeće:
Kad god postoje dvije nepoznanice u konačnoj jednadžbi, ima mjesta.
Općenito, ovo djelo govori o funkcionalnoj ovisnosti i njezinoj materijalnoj slici (mjesto=crta).
Također, otprilike u isto vrijeme, Rene Descartes je proučavao linije prema njihovim jednadžbama u svom djelu "Geometrija" (1637.), gdje je opet činjenicaovisnost dviju veličina jedna o drugoj.
Sam spomen pojma "funkcija" pojavio se tek krajem 17. stoljeća kod Leibniza, ali ne u njegovoj modernoj interpretaciji. U svom znanstvenom radu smatrao je da su funkcija različiti segmenti povezani sa zakrivljenom linijom.
No već u 18. stoljeću funkcija se počela ispravnije definirati. Bernoulli je napisao sljedeće:
Funkcija je vrijednost sastavljena od varijable i konstante.
Eulerove misli su također bile bliske ovome:
Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove varijabilne količine i brojeva ili konstantnih količina.
Kada neke količine ovise o drugima na način da kada se potonje mijenjaju, same se mijenjaju, tada se prve nazivaju funkcijama potonjih.
Grafikon funkcije
Graf funkcije sastoji se od svih točaka koje pripadaju osi koordinatne ravnine, čije apscise uzimaju vrijednosti argumenta, a vrijednosti funkcije u tim točkama su ordinate.
Opseg funkcije izravno je povezan s njezinim grafom, jer ako su apscise isključene rasponom valjanih vrijednosti, tada morate nacrtati prazne točke na grafu ili nacrtati graf unutar određenih granica. Na primjer, ako se uzme graf oblika y=tgx, tada je vrijednost x=pi / 2 + pin, n∉R isključena iz područja definicije, u slučaju tangentnog grafa, potrebno je nacrtatiokomite linije paralelne s y-osi (one se nazivaju asimptote) koje prolaze kroz točke ±pi/2.
Svako temeljito i pažljivo proučavanje funkcija čini veliku granu matematike zvanu račun. U osnovnoj matematici također se dotiču elementarna pitanja o funkcijama, na primjer, izgradnja jednostavnog grafa i uspostavljanje nekih osnovnih svojstava funkcije.
Koju funkciju možete postaviti na
Funkcija može:
- budi formula, na primjer: y=cos x;
- postavljen bilo kojom tablicom parova oblika (x; y);
- odmah imajte grafički prikaz, za to parovi iz prethodne stavke obrasca (x; y) moraju biti prikazani na koordinatnoj osi.
Budite oprezni pri rješavanju nekih problema visoke razine, gotovo svaki izraz se može smatrati funkcijom s obzirom na neki argument za vrijednost funkcije y (x). Pronalaženje domene definicije u takvim zadacima može biti ključ rješenja.
Koji je opseg?
Prva stvar koju trebate znati o funkciji da biste je proučili ili izgradili je njezin opseg. Graf bi trebao sadržavati samo one točke u kojima funkcija može postojati. Domena definicije (x) također se može nazvati domenom prihvatljivih vrijednosti (skraćeno ODZ).
Da biste pravilno i brzo izgradili graf funkcija, morate znati domenu ove funkcije, jer o tome ovisi izgled grafa i vjernostgrađenje. Na primjer, da biste konstruirali funkciju y=√x, morate znati da x može uzeti samo pozitivne vrijednosti. Stoga se gradi samo u prvom koordinatnom kvadrantu.
Opseg definicije na primjeru elementarnih funkcija
U svom arsenalu, matematika ima mali broj jednostavnih, definiranih funkcija. Imaju ograničen opseg. Rješenje ovog problema neće uzrokovati poteškoće čak i ako pred sobom imate takozvanu složenu funkciju. To je samo kombinacija nekoliko jednostavnih.
- Dakle, funkcija može biti frakcijska, na primjer: f(x)=1/x. Dakle, varijabla (naš argument) je u nazivniku, a svi znaju da nazivnik razlomka ne može biti jednak 0, stoga argument može imati bilo koju vrijednost osim 0. Zapis će izgledati ovako: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Ako postoji neki izraz s varijablom u nazivniku, tada trebate riješiti jednadžbu za x i isključiti vrijednosti koje nazivnik pretvaraju u 0. Za shematski prikaz dovoljno je 5 dobro odabranih točaka. Graf ove funkcije bit će hiperbola s vertikalnom asimptotom koja prolazi kroz točku (0; 0) i, u kombinaciji, osi Ox i Oy. Ako se grafička slika siječe s asimptotama, tada će se takva pogreška smatrati najgrubljom.
- Ali koja je domena korijena? Domena funkcije s radikalnim izrazom (f(x)=√(2x + 5)), koja sadrži varijablu, također ima svoje nijanse (odnosi se samo na korijen parnog stupnja). Kaoaritmetički korijen je pozitivan izraz ili jednak 0, tada korijenski izraz mora biti veći ili jednak 0, rješavamo sljedeću nejednakost: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, dakle, domena ovog funkcija: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graf je jedna od grana parabole, rotirana za 90 stupnjeva, smještena u prvom koordinatnom kvadrantu.
- Ako imamo posla s logaritamskom funkcijom, treba imati na umu da postoji ograničenje u pogledu baze logaritma i izraza pod znakom logaritma, u ovom slučaju možete pronaći domenu definicije kao slijedi. Imamo funkciju: y=loga(x + 7), rješavamo nejednakost: x + 7 > 0, x > -7. Tada je domena ove funkcije D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Također obratite pažnju na trigonometrijske funkcije oblika y=tgx i y=ctgx, budući da je y=tgx=sinx/cos/x i y=ctgx=cosx/sinx, stoga morate isključiti vrijednosti kod kojih nazivnik može biti jednak nuli. Ako ste upoznati s grafovima trigonometrijskih funkcija, razumijevanje njihove domene je jednostavan zadatak.
Kako se radi sa složenim funkcijama drugačije
Zapamtite nekoliko osnovnih pravila. Ako radimo sa složenom funkcijom, onda nema potrebe rješavati nešto, pojednostavljivati, zbrajati razlomke, reducirati na najmanji zajednički nazivnik i vaditi korijene. Moramo istražiti ovu funkciju jer različite (čak i identične) operacije mogu promijeniti opseg funkcije, što rezultira netočnim odgovorom.
Na primjer, imamo složenu funkciju: y=(x2 - 4)/(x - 2). Brojnik i nazivnik razlomka ne možemo reducirati, jer je to moguće samo ako je x ≠ 2, a to je zadatak pronalaženja domene funkcije, pa brojnik ne činimo faktorima i ne rješavamo nijednu nejednadžbinu, jer vrijednost na kojoj funkcija ne postoji, vidljiva golim okom. U ovom slučaju, x ne može poprimiti vrijednost 2, budući da nazivnik ne može ići na 0, oznaka će izgledati ovako: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Recipročne funkcije
Za početak, vrijedi reći da funkcija može postati reverzibilna samo u intervalu povećanja ili smanjenja. Da biste pronašli inverznu funkciju, trebate zamijeniti x i y u zapisu i riješiti jednadžbu za x. Domena definicije i domene vrijednosti jednostavno su obrnute.
Glavni uvjet za reverzibilnost je monoton interval funkcije, ako funkcija ima intervale povećanja i smanjenja, tada je moguće sastaviti inverznu funkciju bilo kojeg intervala (rastuće ili opadajuće).
Na primjer, za eksponencijalnu funkciju y=ex recipročna je prirodna logaritamska funkcija y=logea=lna. Za trigonometriju, to će biti funkcije s prefiksom arc-: y=sinx i y=arcsinx i tako dalje. Grafovi će biti postavljeni simetrično u odnosu na neke osi ili asimptote.
Zaključci
Traženje raspona prihvatljivih vrijednosti svodi se na ispitivanje grafa funkcija (ako postoji),bilježenje i rješavanje potrebnog specifičnog sustava nejednakosti.
Dakle, ovaj vam je članak pomogao razumjeti čemu služi opseg funkcije i kako ga pronaći. Nadamo se da će vam pomoći da dobro razumijete tečaj osnovne škole.
