Student se najčešće susreće s površinama 2. reda u prvoj godini. U početku se zadaci na ovu temu mogu činiti jednostavnima, ali kako proučavate višu matematiku i produbljujete u znanstvenu stranu, konačno se možete prestati orijentirati u ono što se događa. Kako bi se to spriječilo, potrebno je ne samo zapamtiti, već i razumjeti kako se dobiva ova ili ona površina, kako promjena koeficijenata utječe na nju i njezin položaj u odnosu na izvorni koordinatni sustav i kako pronaći novi sustav (onaj u kojem se njegovo središte poklapa s ishodišnim koordinatama, a os simetrije je paralelna s jednom od koordinatnih osi). Krenimo od početka.
Definicija
GMT naziva se površina 2. reda, čije koordinate zadovoljavaju opću jednadžbu sljedećeg oblika:
F(x, y, z)=0.
Jasno je da svaka točka koja pripada površini mora imati tri koordinate u nekoj određenoj bazi. Iako se u nekim slučajevima mjesto točaka može degenerirati, na primjer, u ravninu. To samo znači da je jedna od koordinata konstantna i jednaka nuli u cijelom rasponu prihvatljivih vrijednosti.
Puni oslikani oblik gore spomenute jednakosti izgleda ovako:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – neke konstante, x, y, z – varijable koje odgovaraju afinim koordinatama neke točke. U ovom slučaju, barem jedan od konstantnih faktora ne smije biti jednak nuli, odnosno niti jedna točka neće odgovarati jednadžbi.
U velikoj većini primjera, mnogi brojčani faktori su još uvijek identično jednaki nuli, a jednadžba je uvelike pojednostavljena. U praksi nije teško odrediti pripada li točka nekoj plohi (dovoljno je unijeti njezine koordinate u jednadžbu i provjeriti je li uočen identitet). Ključna točka u takvom radu je dovesti potonje u kanonski oblik.
Gore napisana jednadžba definira sve (sve dolje navedene) površine 2. reda. U nastavku ćemo razmotriti primjere.
Vrste površina 2. reda
Jednadžbe površina 2. reda razlikuju se samo u vrijednostima koeficijenata Anm. Općenito gledano, za određene vrijednosti konstanti mogu se dobiti različite površine, klasificirane na sljedeći način:
- Cilindri.
- Eliptični tip.
- Hiperbolički tip.
- konusni tip.
- Parabolički tip.
- Avioni.
Svaka od navedenih vrsta ima prirodni i imaginarni oblik: u imaginarnom obliku lokus realnih točaka ili degenerira u jednostavniji lik, ili ga uopće nema.
Cilindri
Ovo je najjednostavniji tip, budući da relativno složena krivulja leži samo na bazi, djelujući kao vodič. Generatori su ravne linije okomite na ravninu u kojoj leži baza.
Grafikon prikazuje kružni cilindar, poseban slučaj eliptičnog cilindra. U ravnini XY njegova će projekcija biti elipsa (u našem slučaju krug) - vodilica, au XZ - pravokutnik - budući da su generatori paralelni s osi Z. Da biste to dobili iz opće jednadžbe, trebate da bi se koeficijenti dali sljedeće vrijednosti:
Umjesto uobičajenih simbola x, y, z, x koristi se serijski broj - nije važno.
Zapravo, 1/a2i ostale konstante navedene ovdje su isti koeficijenti navedeni u općoj jednadžbi, ali je uobičajeno pisati ih u ovom obliku - ovo je kanonski prikaz. Nadalje, koristit će se samo takva oznaka.
Ovako je definiran hiperbolički cilindar. Shema je ista - hiperbola će biti vodič.
y2=2px
Parabolički cilindar definiran je nešto drugačije: njegov kanonski oblik uključuje koeficijent p, koji se naziva parametar. Zapravo, koeficijent je jednak q=2p, ali je uobičajeno podijeliti ga na dva prikazana faktora.
Postoji još jedna vrsta cilindra: imaginarni. Takvom cilindru ne pripada stvarna točka. Opisuje se jednadžbomeliptični cilindar, ali umjesto jedinice je -1.
Eliptični tip
Elipsoid se može razvući duž jedne od osi (duž koje ovisi o vrijednostima konstanti a, b, c, gore navedenim; očito je da će veći koeficijent odgovarati većoj osi).
Postoji i imaginarni elipsoid - pod uvjetom da je zbroj koordinata pomnožen s koeficijentima -1:
Hiperboloidi
Kada se u jednoj od konstanti pojavi minus, jednadžba elipsoida pretvara se u jednadžbu hiperboloida s jednim listom. Mora se shvatiti da se ovaj minus ne mora nalaziti prije koordinate x3! Određuje samo koja će od osi biti os rotacije hiperboloida (ili paralelna s njim, budući da se dodatni pojmovi pojavljuju u kvadratu (na primjer, (x-2)2) središte figure se pomiče, zbog čega se površina pomiče paralelno s koordinatnim osi). Ovo se odnosi na sve površine 2. reda.
Osim toga, morate razumjeti da su jednadžbe predstavljene u kanonskom obliku i da se mogu mijenjati mijenjanjem konstanti (sa očuvanim predznakom!); dok će njihov oblik (hiperboloid, stožac i tako dalje) ostati isti.
Ovu jednadžbu već daje hiperboloid s dva lista.
konusna površina
U jednadžbi konusa nema jedinice - jednakost nuli.
Samo ograničena konusna površina naziva se konus. Slika ispod pokazuje da će, zapravo, na grafikonu biti dva takozvana stošca.
Važna napomena: u svim razmatranim kanonskim jednadžbama, konstante se uzimaju pozitivne prema zadanim postavkama. Inače, znak može utjecati na konačni grafikon.
Koordinatne ravnine postaju ravnine simetrije stošca, centar simetrije se nalazi u ishodištu.
U imaginarnoj jednadžbi stožca postoje samo plusevi; posjeduje jednu jedinu stvarnu točku.
Paraboloidi
Površine 2. reda u prostoru mogu poprimiti različite oblike čak i sa sličnim jednadžbama. Na primjer, postoje dvije vrste paraboloida.
x2/a2+y2/b2=2z
Eliptični paraboloid, kada je os Z okomita na crtež, projicirat će se u elipsu.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperbolički paraboloid: dijelovi s ravninama paralelnim sa ZY proizvodit će parabole, a dijelovi s ravninama paralelnim s XY proizvodit će hiperbole.
Ravnine koje se sijeku
Postoje slučajevi kada se površine 2. reda degeneriraju u ravninu. Ovi se avioni mogu rasporediti na razne načine.
Prvo razmotrite ravnine koje se sijeku:
x2/a2-y2/b2=0
Ova modifikacija kanonske jednadžbe rezultira samo dvije ravnine koja se sijeku (imaginarno!); sve realne točke su na osi koordinate koja nedostaje u jednadžbi (u kanoničkoj - osi Z).
Paralelne ravni
y2=a2
Kada postoji samo jedna koordinata, površine 2. reda degeneriraju se u par paralelnih ravnina. Zapamtite, bilo koja druga varijabla može zauzeti mjesto Y; tada će se dobiti ravnine paralelne s drugim osama.
y2=−a2
U ovom slučaju, oni postaju zamišljeni.
Podudarne ravnine
y2=0
S tako jednostavnom jednadžbom, par ravnina degenerira se u jednu - podudaraju se.
Ne zaboravite da u slučaju trodimenzionalne baze gornja jednadžba ne definira ravnu liniju y=0! Nedostaju mu druge dvije varijable, ali to samo znači da je njihova vrijednost konstantna i jednaka nuli.
Zgrada
Jedan od najtežih zadataka za učenika je izrada ploha 2. reda. Još je teže prijeći iz jednog koordinatnog sustava u drugi, s obzirom na kutove krivulje u odnosu na osi i pomak središta. Ponovimo kako dosljedno odrediti budući pogled na crtež s analitikomnačin.
Da biste izgradili površinu drugog reda, trebate:
- dovedite jednadžbu u kanonski oblik;
- odredite vrstu površine koja se proučava;
- konstruirajte na temelju vrijednosti koeficijenta.
U nastavku su sve vrste koje se razmatraju:
Za konsolidaciju, opišimo detaljno jedan primjer ove vrste zadatka.
Primjeri
Pretpostavimo da postoji jednadžba:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0
Dovedimo to u kanonski oblik. Izdvojimo pune kvadrate, odnosno rasporedimo raspoložive pojmove na način da budu proširenje kvadrata zbroja ili razlike. Na primjer: ako (a+1)2=a2+2a+1 onda a2+2a +1=(a+1)2. Provest ćemo drugu operaciju. U ovom slučaju nije potrebno otvarati zagrade, jer će to samo zakomplicirati izračune, ali je potrebno izvaditi zajednički faktor 6 (u zagradama s punim kvadratom Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Varijabla z pojavljuje se u ovom slučaju samo jednom - možete je ostaviti na miru za sada.
U ovoj fazi analiziramo jednadžbu: svim nepoznanicama prethodi znak plus; kada se podijeli sa šest, ostaje jedan. Stoga imamo jednadžbu koja definira elipsoid.
Napominjemo da je 144 faktorizirano u 150-6, nakon čega je -6 pomaknuto udesno. Zašto je to moralo biti učinjeno na ovaj način? Očito, najveći djelitelj u ovom primjeru je -6, tako da nakon dijeljenja s njimjedan je lijevo s desne strane, potrebno je "odgoditi" točno 6 od 144 (na činjenicu da treba biti s desne strane ukazuje prisutnost slobodnog pojma - konstante koja se ne množi s nepoznatom).
Podijelite sve sa šest i dobijete kanonsku jednadžbu elipsoida:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
U prethodno korištenoj klasifikaciji površina 2. reda razmatra se poseban slučaj kada je središte lika u ishodištu koordinata. U ovom primjeru, to je offset.
Pretpostavljamo da je svaka zagrada s nepoznanicama nova varijabla. To jest: a=x-1, b=y+5, c=z. U novim koordinatama središte elipsoida poklapa se s točkom (0, 0, 0), dakle, a=b=c=0, odakle je: x=1, y=-5, z=0. U početnim koordinatama središte figure leži u točki (1, -5, 0).
Elipsoid će se dobiti iz dvije elipse: prve u ravnini XY i druge u ravnini XZ (ili YZ - nije važno). Koeficijenti kojima se dijele varijable kvadriraju se u kanonskoj jednadžbi. Stoga bi u gornjem primjeru bilo ispravnije podijeliti s korijenom dva, jedan i korijenom tri.
Manja os prve elipse, paralelna s Y osi, je dva. Glavna os paralelna s x-osi je dva korijena od dva. Mala os druge elipse, paralelna s Y osi, ostaje ista - jednaka je dva. A glavna os, paralelna s osi Z, jednaka je dvama korijenima od tri.
Uz pomoć podataka dobivenih iz izvorne jednadžbe pretvaranjem u kanonski oblik, možemo nacrtati elipsoid.
Sumiranje
Obrađeno u ovom člankutema je prilično opsežna, ali, zapravo, kao što sada vidite, nije baš komplicirana. Njegov razvoj, naime, završava u trenutku kada zapamtite nazive i jednadžbe površina (i, naravno, kako izgledaju). U gornjem primjeru, detaljno smo raspravljali o svakom koraku, ali dovođenje jednadžbe u kanonski oblik zahtijeva minimalno znanje više matematike i ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće za studenta.
Analiza budućeg rasporeda o postojećoj jednakosti već je teži zadatak. Ali za njegovo uspješno rješenje dovoljno je razumjeti kako se grade odgovarajuće krivulje drugog reda - elipse, parabole i druge.
Slučajevi degeneracije - još jednostavniji odjeljak. Zbog nepostojanja nekih varijabli, ne samo da su izračuni pojednostavljeni, kao što je ranije spomenuto, već i sama konstrukcija.
Čim možete pouzdano imenovati sve vrste površina, mijenjajte konstante, pretvarajući graf u jedan ili drugi oblik - tema će biti savladana.
Uspješno u učenju!
