Da bismo razumjeli što su ekstremne točke funkcije, uopće nije potrebno znati o prisutnosti prve i druge derivacije i razumjeti njihovo fizičko značenje. Prvo morate razumjeti sljedeće:
- ekstremi funkcije maksimiziraju ili, obrnuto, minimiziraju vrijednost funkcije u proizvoljno malom susjedstvu;
- Ne bi trebalo biti prekida funkcije u točki ekstrema.
A sada isto, samo na prostom jeziku. Pogledajte vrh kemijske olovke. Ako je olovka postavljena okomito, s krajem za pisanje prema gore, tada će sama sredina kuglice biti krajnja točka - najviša točka. U ovom slučaju govorimo o maksimumu. Sada, ako okrenete olovku s krajem za pisanje prema dolje, tada će na sredini lopte već biti minimum funkcije. Uz pomoć ovdje dane figure, možete zamisliti navedene manipulacije za olovku za tiskanice. Dakle, ekstremi funkcije su uvijek kritične točke: njezini maksimumi ili minimumi. Susjedni dio grafikona može biti proizvoljno oštar ili gladak, ali mora postojati s obje strane, samo u ovom slučaju točka je ekstrem. Ako je grafikon prisutan samo s jedne strane, ova točka neće biti ekstrem, čak ni na jednoj straniispunjeni su ekstremni uvjeti. Proučimo sada ekstreme funkcije sa znanstvenog stajališta. Da bi se točka smatrala ekstremom, potrebno je i dovoljno da:
- prva derivacija bila je jednaka nuli ili nije postojala u točki;
- prva izvedenica promijenila je predznak u ovom trenutku.
Uvjet se tumači nešto drugačije s gledišta derivacija višeg reda: za funkciju diferencibilnu u točki, dovoljno je da postoji derivacija neparnog reda koja nije jednaka nuli, dok je sve derivati nižeg reda moraju postojati i biti jednaki nuli. Ovo je najjednostavnije tumačenje teorema iz udžbenika više matematike. Ali za najobičnije ljude, vrijedno je objasniti ovu točku na primjeru. Osnova je obična parabola. Odmah rezervirajte, na nulti točki ima minimum. Samo malo matematike:
- prva izvedenica (X2)|=2X, za nultu točku 2X=0;
- drugi derivat (2X)|=2, za nultu točku 2=2.
Ovo je jednostavna ilustracija uvjeta koji određuju ekstreme funkcije i za derivate prvog reda i za derivate višeg reda. Ovome možemo dodati da je druga derivacija upravo ista derivacija neparnog reda, nejednaka nuli, o čemu je bilo riječi malo više. Kada je riječ o ekstremima funkcije dviju varijabli, uvjeti moraju biti ispunjeni za oba argumenta. Kadadolazi do generalizacije, tada se koriste parcijalne izvedenice. To jest, potrebno je za prisutnost ekstrema u točki da su obje derivacije prvog reda jednake nuli, ili da barem jedan od njih ne postoji. Za dostatnost prisutnosti ekstrema istražuje se izraz, koji je razlika između umnoška derivacija drugog reda i kvadrata mješovitog izvoda drugog reda funkcije. Ako je ovaj izraz veći od nule, onda postoji ekstrem, a ako postoji nula, onda pitanje ostaje otvoreno i potrebno je dodatno istraživanje.
