Planimetrija je grana geometrije koja proučava svojstva ravnih figura. To uključuje ne samo dobro poznate trokute, kvadrate, pravokutnike, već i ravne linije i kutove. U planimetriji postoje i koncepti kao što su kutovi u krugu: središnji i upisani. Ali što oni znače?
Koji je središnji kut?
Da biste razumjeli što je središnji kut, trebate definirati kružnicu. Krug je skup svih točaka jednako udaljenih od dane točke (središta kružnice).
Vrlo je važno razlikovati ga od kruga. Treba imati na umu da je kružnica zatvorena linija, a krug je dio ravnine omeđen njome. Poligon ili kut se mogu upisati u krug.
Središnji kut je kut čiji se vrh poklapa sa središtem kružnice i čije stranice sijeku kružnicu u dvije točke. Luk, koji kut ograničava točkama presjeka, naziva se luk na kojem počiva zadani kut.
Razmotrimo primjer 1.
Na slici je kut AOB središnji, jer su vrh kuta i središte kružnice jedna točka O. On počiva na luku AB koji ne sadrži točku C.
Kako se upisani kut razlikuje od središnjeg?
Međutim, osim središnjih, postoje i upisani kutovi. Koja je njihova razlika? Kao i središnji, kut upisan u kružnicu počiva na određenom luku. Ali njegov vrh se ne podudara sa središtem kruga, već leži na njemu.
Uzmimo sljedeći primjer.
Kut ACB naziva se kut upisan u kružnicu sa središtem u točki O. Točka C pripada kružnici, odnosno leži na njoj. Kut počiva na luku AB.
Koji je središnji kut
Da bismo se uspješno nosili s problemima u geometriji, nije dovoljno znati razlikovati upisani i središnji kut. U pravilu, da biste ih riješili, morate točno znati kako pronaći središnji kut u krugu i znati izračunati njegovu vrijednost u stupnjevima.
Dakle, središnji kut jednak je stupnjskoj mjeri luka na kojem počiva.
Na slici kut AOB leži na luku AB jednak 66°. Dakle, kut AOB je također jednak 66°.
Dakle, središnji kutovi temeljeni na jednakim lukovima jednaki su.
Na slici je luk DC jednak luku AB. Dakle, kut AOB jednak je kutu DOC.
Kako pronaći upisani kut
Može se činiti da je kut upisan u krug jednak središnjem kutu,koji se oslanja na isti luk. Međutim, ovo je velika pogreška. Zapravo, čak i samo gledajući crtež i međusobno uspoređujući te kutove, možete vidjeti da će njihove mjere stupnja imati različite vrijednosti. Dakle, koliki je kut upisan u krug?
Mjera stupnja upisanog kuta je polovica luka na kojem počiva ili polovica središnjeg kuta ako se oslanjaju na isti luk.
Razmotrimo primjer. Kut ACB temelji se na luku jednakom 66°.
Dakle, kut DIA=66°: 2=33°
Razmotrimo neke posljedice ovog teorema.
- Upisani kutovi, ako se temelje na istom luku, tetivi ili jednakim lukovima, jednaki su.
- Ako se upisani kutovi temelje na istoj tetivi, ali njihovi vrhovi leže na suprotnim stranama, zbroj mjera stupnjeva takvih kutova je 180°, budući da se u ovom slučaju oba kuta temelje na lukovima, ukupna mjera stupnja od kojih je 360° (cijeli krug), 360°: 2=180°
- Ako se upisani kut temelji na promjeru zadane kružnice, njegova mjera stupnja je 90°, budući da se promjer širi na luk jednak 180°, 180°: 2=90°
- Ako se središnji i upisani kut u krugu temelje na istom luku ili tetivi, tada je upisani kut jednak polovici središnjeg.
Gdje se mogu naći problemi na ovu temu? Njihove vrste i rješenja
Budući da su krug i njegova svojstva jedan od najvažnijih dijelova geometrije, posebno planimetrije, upisani i središnji kutovi u kružnici su tema koja je široka i detaljnastudirao po školskom programu. Zadaci posvećeni njihovim svojstvima nalaze se u glavnom državnom ispitu (OGE) i jedinstvenom državnom ispitu (USE). U pravilu, da biste riješili ove probleme, trebali biste pronaći kutove na kružnici u stupnjevima.
Uglovi temeljeni na istom luku
Ova vrsta problema je možda jedan od najlakših, jer da biste ga riješili morate znati samo dva jednostavna svojstva: ako su oba kuta upisana i naslonjena na istu tetivu, jednaki su, ako je jedan od njih središnji, tada je odgovarajući upisani kut jednak njegovoj polovici. Međutim, pri njihovom rješavanju treba biti iznimno oprezan: ponekad je teško uočiti ovo svojstvo, a učenici pri rješavanju tako jednostavnih zadataka dođu u slijepu ulicu. Razmotrimo primjer.
Problem 1
Dana je kružnica sa središtem u točki O. Kut AOB je 54°. Pronađite mjeru stupnjeva kuta DIA.
Ovaj zadatak je riješen u jednom koraku. Jedino što trebate da biste brzo pronašli odgovor je primijetiti da je luk na kojem počivaju oba ugla zajednički. Vidjevši to, možete primijeniti već poznato svojstvo. Kut ACB je polovica kuta AOB. Dakle
1) AOB=54°: 2=27°.
Odgovor: 54°.
Uglovi temeljeni na različitim lukovima iste kružnice
Ponekad veličina luka na kojem počiva traženi kut nije izravno navedena u uvjetima problema. Da biste ga izračunali, morate analizirati veličinu ovih kutova i usporediti ih s poznatim svojstvima kružnice.
Problem 2
U krugu sa središtem na O, kut AOCje 120°, a kut AOB 30°. Pronađi kutak VI.
Za početak, vrijedi reći da je moguće riješiti ovaj problem korištenjem svojstava jednakokračnih trokuta, ali to će zahtijevati više matematičkih operacija. Stoga ćemo ovdje analizirati rješenje koristeći svojstva središnjeg i upisanog kuta u krug.
Dakle, kut AOC počiva na luku AC i središnji je, što znači da je luk AC jednak kutu AOC.
AC=120°
Na isti način, kut AOB počiva na luku AB.
AB=30°.
Znajući ovo i mjeru stupnja cijelog kruga (360°), lako možete pronaći veličinu luka BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vrh kuta CAB, točka A, leži na kružnici. Dakle, kut CAB je upisan i jednak je polovici luka CB.
CAB kut=210°: 2=110°
Odgovor: 110°
Problemi temeljeni na omjerima luka
Neki problemi uopće ne sadrže podatke o kutovima, pa ih je potrebno pretraživati samo na temelju poznatih teorema i svojstava kružnice.
Problem 1
Pronađi kut upisan u kružnicu koju podupire tetiva jednaka polumjeru dane kružnice.
Ako mentalno nacrtate linije koje spajaju krajeve segmenta sa središtem kruga, dobit ćete trokut. Nakon što smo ga ispitali, možete vidjeti da su ove linije polumjeri kružnice, što znači da su sve strane trokuta jednake. Znamo da su svi kutovi jednakostraničnog trokutajednaki su 60°. Dakle, luk AB koji sadrži vrh trokuta jednak je 60°. Odavde nalazimo luk AB, na kojem se temelji željeni kut.
AB=360° - 60°=300°
Ugao ABC=300°: 2=150°
Odgovor: 150°
Problem 2
U kružnici sa središtem u točki O, lukovi su povezani kao 3:7. Pronađite manji upisani kut.
Za rješenje, jedan dio označavamo kao X, tada je jedan luk jednak 3X, a drugi 7X. Znajući da je mjera stupnja kružnice 360°, možemo napisati jednadžbu.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Prema uvjetu morate pronaći manji kut. Očito, ako je vrijednost kuta izravno proporcionalna luku na koji počiva, tada traženi (manji) kut odgovara luku jednakom 3X.
Dakle, manji kut je (36°3): 2=108°: 2=54°
Odgovor: 54°
Problem 3
U kružnici sa središtem u točki O, kut AOB je 60°, a duljina manjeg luka je 50. Izračunajte duljinu većeg luka.
Da biste izračunali duljinu većeg luka, trebate napraviti proporciju - kako se manji luk odnosi na veći. Da bismo to učinili, izračunavamo veličinu oba luka u stupnjevima. Manji luk jednak je kutu koji na njega leži. Njegova mjera stupnja je 60°. Veći luk jednak je razlici između stupnja mjere kružnice (jednaka je 360° bez obzira na druge podatke) i manjeg luka.
Veliki luk je 360° - 60°=300°.
Budući da je 300°: 60°=5, veći luk je 5 puta manji.
Veliki luk=505=250
Odgovor: 250
Dakle, postoje i drugipristupi rješavanju sličnih problema, ali svi se nekako temelje na svojstvima središnjih i upisanih kutova, trokuta i kružnica. Da biste ih uspješno riješili, morate pažljivo proučiti crtež i usporediti ga s podacima problema, kao i moći primijeniti svoje teorijsko znanje u praksi.
