Upisani četverokut u krug. Četverokut ABCD upisan je u krug

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Podjelom matematike na algebru i geometriju nastavni materijal postaje sve teži. Pojavljuju se nove figure i njihovi posebni slučajevi. Da bi se dobro razumjelo gradivo, potrebno je proučiti pojmove, svojstva predmeta i povezane teoreme.

Opći koncepti

Četverokut znači geometrijski lik. Sastoji se od 4 točke. Štoviše, 3 od njih se ne nalaze na istoj ravnoj liniji. Postoje segmenti koji povezuju navedene točke u nizu.

Svi četverokuti koji se proučavaju u školskom kolegiju geometrije prikazani su na sljedećem dijagramu. Zaključak: bilo koji objekt s prikazane slike ima svojstva prethodne slike.

Četverokut može biti sljedećih vrsta:

• Paralelogram. Paralelizam njegovih suprotnih strana dokazan je odgovarajućim teoremima.
• Trapez. Četverokut s paralelnim bazama. Druge dvije strane nisu.
• Pravokutnik. Figura koja ima sva 4 ugla=90º.
• Rombus. Lik sa svim stranama jednakim.
• Kvadrat. Kombinira svojstva posljednje dvije brojke. Ima sve strane jednake i svi kutovi su pravi.

Glavna definicija ove teme je četverokut upisan u krug. Sastoji se u sljedećem. Ovo je lik oko kojeg je opisan krug. Mora proći kroz sve vrhove. Unutarnji kutovi četverokuta upisanog u krug iznose 360º.

Ne može se svaki četverokut upisati. To je zbog činjenice da se okomite simetrale 4 strane ne smiju sijeku u jednoj točki. To će onemogućiti pronalaženje središta kruga koji opisuje 4-kut.

Posebni slučajevi

Postoje iznimke od svakog pravila. Dakle, u ovoj temi postoje i posebni slučajevi:

• Parelelogram, kao takav, ne može se upisati u krug. Samo njegov poseban slučaj. To je pravokutnik.
• Ako su svi vrhovi romba na kružnoj liniji, onda je to kvadrat.
• Svi vrhovi trapeza su na granici kružnice. U ovom slučaju govore o jednakokračnom liku.

Svojstva upisanog četverokuta u krug

Prije rješavanja jednostavnih i složenih problema na zadanu temu, morate provjeriti svoje znanje. Bez proučavanja nastavnog materijala nemoguće je riješiti niti jedan primjer.

Teorem 1

Zbroj suprotnih kutova četverokuta upisanog u krug je 180º.

Dokaz

Dato: četverokut ABCD je upisan u krug. Njegovo središte je točka O. Moramo dokazati da je _<A + _<C=180º i _< B + _<D=180º.

Morate uzeti u obzir prikazane brojke.

1. _{<A je upisana u krug sa središtem u točki O. Mjeri se kroz ½ BCD (poluluka).}
2. _{<C je upisan u isti krug. Mjeri se kroz ½ BAD (polu-luka).}
3. BAD i BCD čine cijeli krug, tj. njihova veličina je 360º.
4. _<A + _{<C jednaki su polovici zbroja predstavljenih polulukova.}
5. Stoga _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Na sličan način, dokaz za _<B i _{<D. Međutim, postoji drugo rješenje problema.}

1. Poznato je da je zbroj unutarnjih kutova četverokuta 360º.
2. Zato što _<A + _<C=180º. Prema tome, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorem 2

(često se naziva inverznim) Ako je u četverokutu _<A + _<C=180º i _{<B +} <_{D=180º (ako su nasuprot), tada se oko takve figure može opisati krug.}

Dokaz

Dat je zbroj suprotnih kutova četverokuta ABCD jednak 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Moramo dokazati da se kružnica može opisati oko ABCD.}

Iz kolegija geometrije poznato je da se kroz 3 točke četverokuta može povući kružnica. Na primjer, možete koristiti točke A, B, C. Gdje će se nalaziti točka D? Postoje 3 pogađanja:

1. Završava unutar kruga. U ovom slučaju, D ne dodiruje liniju.
2. Izvan kruga. Ona korača daleko izvan ocrtane linije.
3. Ispada u krug.

Treba pretpostaviti da je D unutar kruga. Mjesto navedenog vrha zauzima D´. Ispada četverokut ABCD´.

Rezultat je:_<B + _<D´=2d.

Ako nastavimo AD´ do sjecišta s postojećom kružnicom sa središtem u točki E i spojimo E i C, dobit ćemo upisani četverokut ABCE. Iz prvog teorema slijedi jednakost:

Prema zakonima geometrije, izraz nije valjan jer je _<D´ vanjski kut trokuta CD´E. Prema tome, trebao bi biti više od _{<E. Iz ovoga možemo zaključiti da D mora biti ili na krugu ili izvan njega.}

Slično, treća se pretpostavka može dokazati pogrešnom kada D´´ prijeđe granicu opisane brojke.

Iz dvije hipoteze slijedi jedina ispravna. Vertex D nalazi se na liniji kružnice. Drugim riječima, D se podudara s E. Slijedi da se sve točke četverokuta nalaze na opisanoj pravci.

Od ovihdva teorema, slijede posljedice:

Bilo koji pravokutnik može se upisati u krug. Postoji još jedna posljedica. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravokutnika

Trapez s jednakim bokovima može se upisati u krug. Drugim riječima, zvuči ovako: krug se može opisati oko trapeza s jednakim rubovima

Nekoliko primjera

Zadatak 1. Četverokut ABCD upisan je u krug. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Treba pronaći _{<ABD. Odgovor mora biti napisan u stupnjevima.}

Odluka. U početku se može činiti da je teško pronaći odgovor.

1. Morate zapamtiti svojstva iz ove teme. Naime: zbroj suprotnih kutova=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

U geometriji je bolje držati se principa: pronađi sve što možeš. Korisno kasnije.

2. Sljedeći korak: koristite teorem o zbroju trokuta.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 75º=70º}

Upisani su

_<ABD i _{<ACD. Po uvjetu se oslanjaju na jedan luk. Prema tome, imaju jednake vrijednosti:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odgovor: _<ABD=70º.

Zadatak 2. BCDE je upisani četverokut u krug. _<B=69º, _<C=84º. Središte kružnice je točka E. Pronađite - _<E.

Odluka.

1. Treba pronaći _{<E prema teoremu 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odgovor: _{< E=96º.}

Zadatak 3. Zadan je četverokut upisan u krug. Podaci su prikazani na slici. Potrebno je pronaći nepoznate vrijednosti x, y, z.

Rješenje:

z=180º – 93º=87º (prema teoremu 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (prema teoremu 1)

Odgovor: z=87º, x=82º, y=98º.

Zadatak 4. U krug je upisan četverokut. Vrijednosti su prikazane na slici. Pronađite x, y.

Rješenje:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odgovor: x=100º, y=109º.

Problemi za samostalno rješenje

Primjer 1. Zadan je krug. Njegovo središte je točka O. AC i BD su promjeri. _<ACB=38º. Trebate pronaći _{<AOD. Odgovor se mora dati u stupnjevima.}

Primjer 2. Zadan je četverokut ABCD i kružnica opisana oko njega. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Pronađite _{<CAD. Napišite svoj odgovor u stupnjevima.}

Primjer 3. Zadani su kružnica i upisani četverokut ABCD. Njegova dva kuta su 82º i58º. Morate pronaći najveći od preostalih kutova i zapisati odgovor u stupnjevima.

Primjer 4. Dat je četverokut ABCD. Kutovi A, B, C dati su u omjeru 1:2:3. Potrebno je pronaći kut D ako se navedeni četverokut može upisati u krug. Odgovor se mora dati u stupnjevima.

Primjer 5. Dat je četverokut ABCD. Njegove strane tvore lukove opisane kružnice. Vrijednosti stupnjeva AB, BC, CD i AD, redom, su: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Trebali biste pronaći _{<Iz zadanog četverokuta i zapisati odgovor u stupnjevima.}