Kutovi između ravnina. Kako odrediti kut između ravnina

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Prilikom rješavanja geometrijskih zadataka u prostoru često se javljaju oni kod kojih je potrebno izračunati kutove između različitih prostornih objekata. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje pronalaženja kutova između ravnina i između njih i ravne linije.

Linija u prostoru

Poznato je da se apsolutno svaka ravna linija u ravnini može definirati sljedećom jednakošću:

y=ax + b

Ovdje a i b su neki brojevi. Ako istim izrazom predstavimo ravnu liniju u prostoru, tada dobivamo ravninu paralelnu s osi z. Za matematičku definiciju prostorne linije koristi se drugačija metoda rješenja nego u dvodimenzionalnom slučaju. Sastoji se od korištenja koncepta "vektora smjera".

Vektor usmjeravanja ravne linije pokazuje njezinu orijentaciju u prostoru. Ovaj parametar pripada liniji. Budući da postoji beskonačan skup vektora paralelnih u prostoru, tada je za jednoznačno određivanje razmatranog geometrijskog objekta potrebno znati i koordinate točke koja mu pripada.

Pretpostavimo da postojitočka P(x₀; y₀; z_{0) i vektor smjera v¯(a; b; c), tada se jednadžba ravne linije može dati na sljedeći način:}

(x; y; z)=P + αv¯ ili

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Ovaj izraz se zove parametarska vektorska jednadžba ravne linije. Koeficijent α je parametar koji može poprimiti apsolutno sve realne vrijednosti. Koordinate pravca mogu se eksplicitno predstaviti proširenjem ove jednakosti:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Jednadžba ravnine

Postoji nekoliko oblika pisanja jednadžbe za ravninu u prostoru. Ovdje ćemo razmotriti jedan od njih, koji se najčešće koristi pri izračunavanju kutova između dvije ravnine ili između jedne od njih i ravne linije.

Ako je poznat neki vektor n¯(A; B; C), koji je okomit na željenu ravninu, i točka P(x₀; y ₀; z_{0), koji joj pripada, tada je opća jednadžba za potonje:}

Ax + By + Cz + D=0 gdje je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Izostavili smo izvođenje ovog izraza, koji je prilično jednostavan. Ovdje samo napominjemo da se, poznavajući koeficijente varijabli u jednadžbi ravnine, lako mogu pronaći svi vektori koji su okomiti na nju. Potonje se nazivaju normalama i koriste se za izračunavanje kutova između nagnute i ravnine i izmeđuproizvoljni analozi.

Položaj ravnina i formula za kut između njih

Recimo da postoje dva aviona. Koje su opcije za njihov relativni položaj u prostoru. Budući da ravnina ima dvije beskonačne dimenzije i jednu nulu, moguće su samo dvije opcije za njihovu međusobnu orijentaciju:

oni će biti paralelni jedan s drugim;
mogu se preklapati.

Kut između ravnina je indeks između njihovih vektora smjera, tj. između njihovih normala n₁¯ i n_2¯.

Očito, ako su paralelni s ravninom, tada je kut presjeka nula između njih. Ako se sijeku, onda je različit od nule, ali uvijek oštar. Poseban slučaj presjeka bit će kut 90o, kada su ravnine međusobno okomite jedna na drugu.

Kut α između n₁¯ i n_{2¯ lako se određuje iz skalarnog produkta ovih vektora. To jest, formula se odvija:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Pretpostavimo da su koordinate ovih vektora: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Zatim, koristeći formule za izračunavanje skalarnog proizvoda i modula vektora kroz njihove koordinate, gornji izraz se može prepisati kao:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modul u brojniku se pojavio jer se isključuju vrijednosti tupih kutova.

Primjeri rješavanja zadataka za određivanje kuta presjeka ravnina

Znajući kako pronaći kut između ravnina, riješit ćemo sljedeći problem. Dane su dvije ravnine čije su jednadžbe:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Koji je kut između ravnina?

Da bismo odgovorili na pitanje problema, sjetimo se da su koeficijenti varijabli u općoj jednadžbi ravnine koordinate vodećeg vektora. Za navedene ravnine imamo sljedeće koordinate njihovih normala:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Sada nalazimo skalarni proizvod ovih vektora i njihovih modula, imamo:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Sada možete zamijeniti pronađene brojeve u formulu danu u prethodnom odlomku. Dobivamo:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Rezultirajuća vrijednost odgovara oštrom kutu presjeka ravnina navedenih u uvjetuzadaci.

Sada razmotrite još jedan primjer. S obzirom na dva aviona:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Presijecaju li se? Napišimo vrijednosti koordinata njihovih vektora smjera, izračunajmo njihov skalarni proizvod i module:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Tada je kut presjeka:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Ovaj kut označava da se ravnine ne sijeku, već su paralelne. Činjenica da se međusobno ne podudaraju lako je provjeriti. Uzmimo za to proizvoljnu točku koja pripada prvoj od njih, na primjer, P(0; 3; 2). Zamijenimo njegove koordinate u drugu jednadžbu, dobivamo:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

To jest, točka P pripada samo prvoj ravnini.

Dakle, dvije ravnine su paralelne kada su njihove normale.

Ravan i ravna linija

U slučaju razmatranja relativnog položaja između ravnine i ravne, postoji nekoliko više opcija nego s dvije ravnine. Ova činjenica je povezana s činjenicom da je ravna crta jednodimenzionalni objekt. Prava i ravnina mogu biti:

međusobno paralelno, u ovom slučaju ravnina ne siječe pravu;
potonji može pripadati ravnini, dok će također biti paralelan s njom;
oba objekta mogusijeku pod nekim kutom.

Razmotrimo prvo zadnji slučaj, jer zahtijeva uvođenje koncepta kuta presjeka.

Prava i ravnina, kut između njih

Ako pravac siječe ravninu, tada se naziva nagnutom u odnosu na nju. Točka presjeka naziva se baza nagiba. Za određivanje kuta između ovih geometrijskih objekata potrebno je s bilo koje točke spustiti ravnu okomicu na ravninu. Tada točka presjeka okomice s ravninom i mjesto presjeka nagnute crte s njom čine ravnu liniju. Potonji se naziva projekcija izvorne linije na ravninu koja se razmatra. Akutni kut između linije i njene projekcije je traženi.

Donekle zbunjujuća definicija kuta između ravnine i kose razjasnit će sliku ispod.

Ovdje kut ABO je kut između prave AB i ravnine a.

Da biste zapisali formulu za to, razmotrite primjer. Neka postoje ravna i ravnina, koje su opisane jednadžbama:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Lako je izračunati željeni kut za ove objekte ako pronađete skalarni proizvod između vektora smjera pravca i ravnine. Rezultirajući oštar kut treba oduzeti od 90o, onda se dobije između ravne i ravnine.

Slika iznad prikazuje opisani algoritam za pronalaženjerazmatrani kut. Ovdje je β kut između normale i pravca, a α između pravca i njegove projekcije na ravninu. Vidi se da je njihov zbroj 90o.

Iznad je predstavljena formula koja odgovara na pitanje kako pronaći kut između ravnina. Sada dajemo odgovarajući izraz za slučaj ravne i ravnine:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modul u formuli omogućuje izračunavanje samo oštrih kutova. Funkcija arksinusa pojavila se umjesto arkkosinusa zbog upotrebe odgovarajuće formule redukcije između trigonometrijskih funkcija (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: ravnina siječe ravnu liniju

Sada pokažimo kako se radi s gornjom formulom. Riješimo problem: potrebno je izračunati kut između y-ose i ravnine zadane jednadžbom:

y - z + 12=0

Ovaj avion je prikazan na slici.

Možete vidjeti da siječe osi y i z u točkama (0; -12; 0) odnosno (0; 0; 12), te da je paralelna s osi x.

Vektor smjera pravca y ima koordinate (0; 1; 0). Vektor okomit na danu ravninu karakteriziraju koordinate (0; 1; -1). Primijenimo formulu za kut presjeka ravne i ravnine, dobijemo:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: ravna linija paralelna s ravninom

Sada odlučimosličan prethodnom problemu čije se pitanje postavlja drugačije. Jednadžbe ravnine i prave su poznate:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Potrebno je saznati jesu li ti geometrijski objekti međusobno paralelni.

Imamo dva vektora: smjer ravne je (0; 2; 2) i smjer ravnine je (1; 1; -1). Pronađite njihov točkasti proizvod:

01 + 12 - 12=0

Rezultirajuća nula označava da je kut između ovih vektora 90o, što dokazuje da su pravac i ravnina paralelne.

Sada provjerimo je li ovaj pravac samo paralelan ili također leži u ravnini. Da biste to učinili, odaberite proizvoljnu točku na liniji i provjerite pripada li ravnini. Na primjer, uzmimo λ=0, tada točka P(1; 0; 0) pripada pravcu. Zamijenite u jednadžbu ravnine P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Točka P ne pripada ravnini, što znači da ni cijeli pravac ne leži u njoj.

Gdje je važno znati kutove između razmatranih geometrijskih objekata?

Navedene formule i primjeri rješavanja problema nisu samo od teoretskog interesa. Često se koriste za određivanje važnih fizičkih veličina stvarnih trodimenzionalnih figura, kao što su prizme ili piramide. Važno je znati odrediti kut između ravnina pri izračunavanju volumena likova i površina njihovih površina. Štoviše, ako je u slučaju ravne prizme moguće ne koristiti ove formule za određivanjeodređene vrijednosti, tada je za bilo koju vrstu piramide njihova upotreba neizbježna.

U nastavku razmotrite primjer korištenja gornje teorije za određivanje kutova piramide s kvadratnom bazom.

Piramida i njezini uglovi

Slika ispod prikazuje piramidu u čijem se podnožju nalazi kvadrat sa stranom a. Visina figure je h. Treba pronaći dva kuta:

između bočne površine i baze;
između bočnog rebra i baze.

Da biste riješili problem, prvo morate unijeti koordinatni sustav i odrediti parametre odgovarajućih vrhova. Slika pokazuje da se ishodište koordinata poklapa s točkom u središtu kvadratne baze. U ovom slučaju, osnovna ravnina je opisana jednadžbom:

z=0

To jest, za bilo koji x i y, vrijednost treće koordinate je uvijek nula. Bočna ravnina ABC siječe os z u točki B(0; 0; h), a os y u točki s koordinatama (0; a/2; 0). Ne prelazi x-os. To znači da se jednadžba ABC ravnine može napisati kao: