Jedan od uobičajenih problema u stereometriji su zadaci križanja ravnih linija i ravnina i izračunavanje kutova između njih. Razmotrimo u ovom članku detaljnije tzv. koordinatnu metodu i kutove između pravca i ravnine.
Prava i ravnina u geometriji
Prije razmatranja metode koordinata i kuta između prave i ravnine, trebali biste se upoznati s imenovanim geometrijskim objektima.
Linija je takva zbirka točaka u prostoru ili na ravnini, od kojih se svaka može dobiti linearnim prijenosom prethodne na određeni vektor. U nastavku ćemo ovaj vektor označavati simbolom u¯. Ako se ovaj vektor pomnoži s bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, tada ćemo dobiti vektor paralelan s u¯. Linija je linearni beskonačan objekt.
Ravan je također skup točaka koje se nalaze na takav način da ako od njih sastavite proizvoljne vektore, onda će svi oni biti okomiti na neki vektor n¯. Potonji se naziva normalnim ili jednostavno normalnim. Ravnina, za razliku od ravne linije, je dvodimenzionalni beskonačan objekt.
Koordinatna metoda za rješavanje geometrijskih problema
Na temelju naziva same metode možemo zaključiti da je riječ o metodi rješavanja problema, koja se temelji na izvođenju analitičkih sekvencijalnih proračuna. Drugim riječima, koordinatna metoda omogućuje rješavanje geometrijskih problema pomoću univerzalnih algebarskih alata, od kojih su glavne jednadžbe.
Treba napomenuti da se metoda koja se razmatra pojavila u zoru moderne geometrije i algebre. Velik doprinos njegovom razvoju dali su Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton i Leibniz u 17.-18. stoljeću.
Suština metode je izračunavanje udaljenosti, kutova, površina i volumena geometrijskih elemenata na temelju koordinata poznatih točaka. Imajte na umu da oblik dobivenih konačnih jednadžbi ovisi o koordinatnom sustavu. U problemima se najčešće koristi pravokutni kartezijanski sustav, jer je s njim najprikladniji za rad.
jednadžba
Razmatranje metode koordinata i kutova između pravca i ravnine, počnimo s postavljanjem jednadžbe pravca. Postoji nekoliko načina za predstavljanje linija u algebarskom obliku. Ovdje razmatramo samo vektorsku jednadžbu, budući da se iz nje može lako dobiti u bilo kojem drugom obliku i s njom je lako raditi.
Pretpostavimo da postoje dvije točke: P i Q. Poznato je da se kroz njih može povući pravac, abit će jedini. Odgovarajući matematički prikaz elementa izgleda ovako:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Gdje je PQ¯ vektor čije se koordinate dobivaju na sljedeći način:
PQ¯=Q - P.
Simbol λ označava parametar koji može uzeti apsolutno bilo koji broj.
U pisanom izrazu možete promijeniti smjer vektora, a također zamijeniti koordinate Q umjesto točke P. Sve ove transformacije neće dovesti do promjene geometrijskog položaja linije.
Napominjemo da je prilikom rješavanja problema ponekad potrebno predstaviti napisanu vektorsku jednadžbu u eksplicitnom (parametarskom) obliku.
Postavljanje aviona u svemir
Kao i za ravnu liniju, postoji i nekoliko oblika matematičkih jednadžbi za ravninu. Među njima bilježimo vektor, jednadžbu u segmentima i opći oblik. U ovom ćemo članku posebnu pozornost obratiti na zadnji obrazac.
Opća jednadžba za proizvoljnu ravninu može se napisati na sljedeći način:
Ax + By + Cz + D=0.
Latinska velika slova određeni su brojevi koji definiraju ravninu.
Pogodnost ove notacije je da eksplicitno sadrži vektor normalan na ravninu. Jednako je:
n¯=(A, B, C).
Poznavanje ovog vektora omogućuje, kratkim pogledom na jednadžbu ravnine, zamisliti položaj potonje u koordinatnom sustavu.
Međusobni dogovor uprostor linije i ravnine
U sljedećem odlomku članka prijeći ćemo na razmatranje metode koordinata i kuta između pravca i ravnine. Ovdje ćemo odgovoriti na pitanje kako se razmatrani geometrijski elementi mogu smjestiti u prostoru. Postoje tri načina:
- Prava crta siječe ravninu. Koristeći koordinatnu metodu, možete izračunati u kojoj se točki sijeku pravac i ravnina.
- Ravnina ravne je paralelna. U ovom slučaju sustav jednadžbi geometrijskih elemenata nema rješenja. Za dokazivanje paralelizma obično se koristi svojstvo skalarnog umnoška usmjeravajućeg vektora ravne i normale ravnine.
- Zravan sadrži liniju. Rješavajući sustav jednadžbi u ovom slučaju, doći ćemo do zaključka da se za bilo koju vrijednost parametra λ dobiva ispravna jednakost.
U drugom i trećem slučaju, kut između navedenih geometrijskih objekata jednak je nuli. U prvom slučaju, nalazi se između 0 i 90o.
Izračun kutova između pravaca i ravnina
A sada idemo izravno na temu članka. Svaki presjek pravca i ravnine događa se pod nekim kutom. Taj kut tvori sama ravna crta i njezina projekcija na ravninu. Projekcija se može dobiti ako se iz bilo koje točke ravne okomica spusti na ravninu, a zatim kroz dobivenu točku presjeka ravnine i okomice i točku presjeka ravnine i izvorne linije povuče ravna linija koja će biti projekcija.
Izračunavanje kutova između linija i ravnina nije težak zadatak. Da biste ga riješili, dovoljno je poznavati jednadžbe odgovarajućih geometrijskih objekata. Recimo da ove jednadžbe izgledaju ovako:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Željeni kut se lako pronalazi korištenjem svojstva proizvoda skalarnih vektora u¯ i n¯. Konačna formula izgleda ovako:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ova formula kaže da je sinus kuta između pravca i ravnine jednak omjeru modula skalarnog produkta označenih vektora i umnoška njihovih duljina. Da bismo razumjeli zašto se umjesto kosinusa pojavio sinus, okrenimo se slici ispod.
Može se vidjeti da ako primijenimo kosinusnu funkciju, dobit ćemo kut između vektora u¯ i n¯. Željeni kut θ (α na slici) dobiva se na sljedeći način:
θ=90o- β.
Sinus se pojavljuje kao rezultat primjene formule redukcije.
Primjer problema
Pređimo na praktičnu upotrebu stečenog znanja. Riješimo tipičan problem o kutu između ravne i ravnine. Dane su sljedeće koordinate četiri točke:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Poznato je da kroz točke PQMkroz njega prolazi ravnina, a kroz MN pravac. Koristeći koordinatnu metodu, mora se izračunati kut između ravnine i pravca.
Prvo, zapišimo jednadžbe ravne i ravnine. Za ravnu liniju, lako je sastaviti:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Da bismo napravili jednadžbu ravnine, prvo ćemo pronaći normalu na nju. Njegove koordinate jednake su vektorskom umnošku dvaju vektora koji leže u zadanoj ravnini. Imamo:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Sada zamijenimo koordinate bilo koje točke koja leži u njoj u jednadžbu opće ravnine da dobijemo vrijednost slobodnog pojma D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ravninska jednadžba je:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Ostaje primijeniti formulu za kut koji nastaje na presjeku ravne i ravnine da dobijemo odgovor na problem. Imamo:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Upotrebom ovog problema kao primjera, pokazali smo kako koristiti koordinatnu metodu za rješavanje geometrijskih problema.
