Za određivanje paralelizma i okomitosti ravnina, kao i za izračunavanje udaljenosti između ovih geometrijskih objekata, prikladno je koristiti jednu ili drugu vrstu numeričkih funkcija. Za koje je probleme prikladno koristiti jednadžbu ravnine u segmentima? U ovom članku ćemo pogledati što je to i kako ga koristiti u praktičnim zadacima.
Što je jednadžba u segmentima?
Ravan se može definirati u 3D prostoru na nekoliko načina. U ovom članku bit će dati neki od njih prilikom rješavanja problema različitih vrsta. Ovdje dajemo detaljan opis jednadžbe u segmentima ravnine. Općenito ima sljedeći oblik:
x/p + y/q + z/r=1.
Gdje simboli p, q, r označavaju neke specifične brojeve. Ova se jednadžba može lako prevesti u opći izraz i u druge oblike numeričkih funkcija za ravninu.
Pogodnost pisanja jednadžbe u segmentima leži u činjenici da sadrži eksplicitne koordinate presjeka ravnine s okomitim koordinatnim osovinama. Na osi xu odnosu na ishodište, ravnina odsiječe segment duljine p, na osi y - jednak q, na z - duljine r.
Ako bilo koja od tri varijable nije sadržana u jednadžbi, to znači da ravnina ne prolazi kroz odgovarajuću os (matematičari kažu da se križa u beskonačnosti).
Sljedeće, evo nekoliko problema u kojima ćemo pokazati kako raditi s ovom jednadžbom.
Komunikacija općenito i u segmentima jednadžbi
Poznato je da je ravnina dana sljedećom jednakošću:
2x - 3y + z - 6=0.
Ovu opću jednadžbu ravnine potrebno je zapisati u segmentima.
Kada se pojavi sličan problem, trebate slijediti ovu tehniku: prenosimo slobodni pojam na desnu stranu jednakosti. Zatim cijelu jednadžbu podijelimo ovim pojmom, pokušavajući je izraziti u obliku danom u prethodnom odlomku. Imamo:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
U segmentima smo dobili jednadžbu ravnine, danu u početku u općem obliku. Primjetno je da ravnina odsijeca segmente duljine 3, 2 i 6 za osi x, y i z. Y-os siječe ravninu u negativnom koordinatnom području.
Prilikom sastavljanja jednadžbe u segmentima, važno je da svim varijablama prethodi znak "+". Samo u ovom slučaju, broj kojim je ova varijabla podijeljena pokazat će odsječenu koordinatu na osi.
Normalni vektor i točka na ravnini
Poznato je da neka ravnina ima vektor smjera (3; 0; -1). Također je poznato da prolazi točkom (1; 1; 1). Za ovu ravninu napišite jednadžbu u segmentima.
Da biste riješili ovaj problem, prvo trebate koristiti opći oblik za ovaj dvodimenzionalni geometrijski objekt. Opći oblik piše se kao:
Ax + By + Cz + D=0.
Prva tri koeficijenta ovdje su koordinate vodećeg vektora, koji je naveden u opisu problema, to jest:
A=3;
B=0;
C=-1.
Ostaje pronaći slobodni termin D. Može se odrediti sljedećom formulom:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Gdje vrijednosti koordinata s indeksom 1 odgovaraju koordinatama točke koja pripada ravnini. Zamijenimo njihove vrijednosti iz uvjeta problema, dobijemo:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Sada možete napisati punu jednadžbu:
3x - z - 2=0.
Tehnika pretvaranja ovog izraza u jednadžbu u segmentima ravnine već je demonstrirana gore. Primijeni:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Odgovor na problem je primljen. Imajte na umu da ova ravnina siječe samo x i z osi. Za y je paralelno.
Dvije ravne linije koje definiraju ravninu
Iz kolegija prostorne geometrije, svaki student zna da dvije proizvoljne prave jednoznačno definiraju ravninu utrodimenzionalni prostor. Riješimo sličan problem.
Poznate su dvije jednadžbe pravaca:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Potrebno je zapisati jednadžbu ravnine u segmentima, prolazeći kroz ove linije.
Budući da oba pravca moraju ležati u ravnini, to znači da njihovi vektori (vodilice) moraju biti okomiti na vektor (vodilicu) za ravninu. Istodobno, poznato je da vektorski umnožak proizvoljnih dvaju usmjerenih segmenta daje rezultat u obliku koordinata trećeg, okomitog na dva izvorna segmenta. S obzirom na ovo svojstvo, dobivamo koordinate vektora normalne na željenu ravninu:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Budući da se može pomnožiti s proizvoljnim brojem, ovo formira novi usmjereni segment paralelan s izvornim, možemo zamijeniti predznak dobivenih koordinata suprotnim (pomnožiti s -1), dobivamo:
(1; 2; 1).
Poznajemo vektor smjera. Ostaje uzeti proizvoljnu točku jedne od ravnih linija i sastaviti opću jednadžbu ravnine:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Prevođenjem ove jednakosti u izraz u segmentima, dobivamo:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Dakle, ravnina siječe sve tri osi u pozitivnoj regiji koordinatnog sustava.
Tri točke i ravnina
Baš kao dvije ravne, tri točke definiraju ravninu jedinstveno u trodimenzionalnom prostoru. Odgovarajuću jednadžbu pišemo u segmentima ako su poznate sljedeće koordinate točaka koje leže u ravnini:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Učinimo sljedeće: izračunajmo koordinate dva proizvoljna vektora koji povezuju ove točke, zatim pronađimo vektor n¯ normalan na ravninu izračunavajući umnožak pronađenih usmjerenih segmenata. Dobivamo:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Uzmite točku P kao primjer, sastavite jednadžbu ravnine:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ili z=0.
Dobili smo jednostavan izraz koji odgovara xy ravnini u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu. Ne može se napisati u segmentima, jer osi x i y pripadaju ravnini, a duljina segmenta odsječenog na osi z je nula (točka (0; 0; 0) pripada ravnini).
