Često se u fizici moraju rješavati problemi za izračunavanje ravnoteže u složenim sustavima koji imaju mnogo djelujućih sila, poluga i osi rotacije. U ovom slučaju najlakše je koristiti koncept momenta sile. Ovaj članak pruža sve potrebne formule s detaljnim objašnjenjima koja bi se trebala koristiti za rješavanje problema imenovanog tipa.
O čemu ćemo razgovarati?
Mnogi su ljudi vjerojatno primijetili da ako djelujete bilo kakvom silom na predmet fiksiran u određenoj točki, on se počinje rotirati. Upečatljiv primjer su vrata u kuću ili u sobu. Ako ga uzmete za ručku i gurnete (primijenite silu), tada će se početi otvarati (okrenuti svoje šarke). Ovaj proces je u svakodnevnom životu manifestacija djelovanja fizičke veličine, koja se naziva momentom sile.
Iz opisanog primjera s vratima proizlazi da predmetna vrijednost ukazuje na sposobnost sile rotacije, što je njezino fizičko značenje. Također ova vrijednostnaziva se moment torzije.
Određivanje trenutka sile
Prije definiranja količine koja se razmatra, napravimo jednostavnu sliku.
Dakle, slika prikazuje polugu (plava), koja je fiksirana na osi (zelena). Ova poluga ima duljinu d, a na njen kraj djeluje sila F. Što će se u tom slučaju dogoditi sa sustavom? Tako je, poluga će se početi rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda odozgo (imajte na umu da ako malo rastegnete svoju maštu i zamislite da je pogled usmjeren odozdo na polugu, tada će se rotirati u smjeru kazaljke na satu).
Neka se točka vezanja osi nazove O, a točka primjene sile - P. Tada možemo napisati sljedeći matematički izraz:
OP¯ F¯=M¯FO.
Gdje je OP¯ vektor koji je usmjeren od osi do kraja poluge, naziva se i poluga sile, F¯je vektor primijenjene sile na točku P, a M¯FO je moment sile oko točke O (os). Ova formula je matematička definicija fizičke veličine o kojoj je riječ.
Smjer trenutka i pravilo desne ruke
Izraz iznad je unakrsni proizvod. Kao što znate, njegov rezultat je također vektor koji je okomit na ravninu koja prolazi kroz odgovarajuće vektore množitelja. Ovaj uvjet zadovoljavaju dva smjera vrijednosti M¯FO (dolje i gore).
Jedinstvenoza određivanje treba koristiti takozvano pravilo desne ruke. Može se formulirati na sljedeći način: ako savijete četiri prsta desne ruke u polu-luk i usmjerite taj poluluk tako da ide uz prvi vektor (prvi faktor u formuli) i ide do kraja drugi, tada će palac koji strši prema gore ukazati na smjer trenutka torzije. Također imajte na umu da prije korištenja ovog pravila morate postaviti pomnožene vektore tako da izlaze iz iste točke (njihovo podrijetlo se mora podudarati).
U slučaju slike iz prethodnog paragrafa, primjenom pravila desne ruke možemo reći da će moment sile u odnosu na os biti usmjeren prema gore, odnosno prema nama.
Osim označene metode određivanja smjera vektora M¯FO, postoje još dvije. Evo ih:
- Trenutak torzije bit će usmjeren na takav način da će se, ako pogledate rotirajuću polugu s kraja njezina vektora, pomaknuti prema satu. Općenito je prihvaćeno da se ovaj smjer trenutka smatra pozitivnim pri rješavanju raznih vrsta problema.
- Ako zavrtite vretenu u smjeru kazaljke na satu, okretni moment će biti usmjeren prema kretanju (produbljenju) cilindra.
Sve gore navedene definicije su ekvivalentne, tako da svatko može odabrati onu koja mu odgovara.
Dakle, utvrđeno je da je smjer momenta sile paralelan s osi oko koje se rotira odgovarajuća poluga.
Sila pod kutom
Razmotrite sliku ispod.
Ovdje također vidimo polugu dužine L fiksiranu u točki (označena strelicom). Na njega djeluje sila F, međutim ona je usmjerena pod određenim kutom Φ (phi) prema horizontalnoj polugi. Smjer trenutka M¯FO u ovom slučaju bit će isti kao na prethodnoj slici (na nama). Da biste izračunali apsolutnu vrijednost ili modul ove količine, morate koristiti svojstvo unakrsnog proizvoda. Prema njemu, za primjer koji se razmatra, možete napisati izraz: MFO=LFsin(180 o -Φ) ili, koristeći svojstvo sinusa, prepisujemo:
MFO=LFsin(Φ).
Slika također prikazuje dovršeni pravokutni trokut čije su stranice sama poluga (hipotenuza), linija djelovanja sile (kraka) i stranica duljine d (druga kraka). S obzirom da je sin(Φ)=d/L, ova formula će imati oblik: MFO=dF. Vidi se da je udaljenost d udaljenost od točke pričvršćenja poluge do linije djelovanja sile, odnosno d je poluga sile.
Obje formule koje se razmatraju u ovom odlomku, a koje slijede izravno iz definicije momenta torzije, korisne su u rješavanju praktičnih problema.
Jedinice zakretnog momenta
Upotrebom definicije može se utvrditi da vrijednost MFO treba mjeriti u njutonima po metru (Nm). Doista, u obliku ovih jedinica, koristi se u SI.
Napominjemo da je Nm jedinica rada, koja se izražava u džulima, poput energije. Ipak, džulovi se ne koriste za pojam momenta sile, budući da ova vrijednost odražava upravo mogućnost implementacije potonjeg. Međutim, postoji veza s jedinicom rada: ako se, kao rezultat sile F, poluga potpuno zakrene oko svoje zakretne točke O, tada će obavljeni rad biti jednak A=MF O 2pi (2pi je kut u radijanima koji odgovara 360o). U ovom slučaju, jedinica zakretnog momenta MFO može se izraziti u džulima po radijanu (J/rad.). Potonji se, uz Hm, također koristi u SI sustavu.
Varignonov teorem
Krajem 17. stoljeća, francuski matematičar Pierre Varignon, proučavajući ravnotežu sustava s polugama, prvi je formulirao teorem, koji sada nosi njegovo prezime. Formulira se na sljedeći način: ukupni moment nekoliko sila jednak je momentu jedne rezultirajuće sile, koja se primjenjuje na određenu točku u odnosu na istu os rotacije. Matematički se može napisati na sljedeći način:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Ovaj je teorem prikladan za korištenje za izračunavanje torzijskih momenata u sustavima s višestrukim djelovanjem sila.
Dalje, dajemo primjer korištenja gornjih formula za rješavanje problema u fizici.
Problem s ključem
Jedan odUpečatljiv primjer demonstracije važnosti uzimanja u obzir momenta sile je proces odvrtanja matica ključem. Da biste odvrnuli maticu, morate primijeniti određeni zakretni moment. Potrebno je izračunati koliku silu treba primijeniti u točki A da bi se matica počela odvijati, ako je ta sila u točki B 300 N (vidi sliku ispod).
Iz gornje slike slijede dvije važne stvari: prvo, udaljenost OB je dvostruko veća od OA; drugo, sile FA i FBusmjerene su okomito na odgovarajuću polugu s osi rotacije koja se poklapa sa središtem matice (točka O).
Moment momenta za ovaj slučaj može se zapisati u skalarnom obliku kako slijedi: M=OBFB=OAFA. Budući da je OB/OA=2, ova će jednakost vrijediti samo ako je FA 2 puta veći od FB. Iz uvjeta zadatka dobivamo da je FA=2300=600 N. To jest, što je ključ duži, to je lakše odvrnuti maticu.
Problem s dvije kuglice različite mase
Slika ispod prikazuje sustav koji je u ravnoteži. Potrebno je pronaći položaj uporišta ako je dužina ploče 3 metra.
Budući da je sustav u ravnoteži, zbroj momenata svih sila jednak je nuli. Na dasku djeluju tri sile (težine dviju loptica i sila reakcije oslonca). Budući da sila potpore ne stvara moment momenta (duljina poluge je nula), postoje samo dva momenta stvorena težinom kuglica.
Neka je ravnotežna točka udaljena x odrub koji sadrži loptu od 100 kg. Tada možemo napisati jednakost: M1-M2=0. Budući da je težina tijela određena formulom mg, tada imamo: m 1gx - m2g(3-x)=0. Smanjimo g i zamijenimo podatke, dobijemo: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m ili 14,3 cm.
Dakle, da bi sustav bio u ravnoteži, potrebno je uspostaviti referentnu točku na udaljenosti od 14,3 cm od ruba, gdje će ležati kugla mase 100 kg.
