U fizici se razmatranje problema s rotirajućim tijelima ili sustavima koji su u ravnoteži provodi pomoću koncepta "momenta sile". Ovaj članak će razmotriti formulu za moment sile, kao i njezinu upotrebu za rješavanje ove vrste problema.
Moment sile u fizici
Kao što je navedeno u uvodu, ovaj će se članak usredotočiti na sustave koji se mogu rotirati oko osi ili oko točke. Razmotrimo primjer takvog modela, prikazanog na donjoj slici.
Vidimo da je siva poluga fiksirana na osi rotacije. Na kraju poluge nalazi se crna kocka neke mase, na koju djeluje sila (crvena strelica). Intuitivno je jasno da će rezultat ove sile biti rotacija poluge oko osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Moment sile je veličina u fizici, koja je jednaka vektorskom umnošku polumjera koji povezuje os rotacije i točku primjene sile (zeleni vektor na slici) i vanjske sile sebe. To jest, napisana je formula za moment sile oko osikako slijedi:
M¯=r¯F¯
Rezultat ovog proizvoda je vektor M¯. Njegov smjer se određuje na temelju poznavanja vektora množitelja, odnosno r¯ i F¯. Prema definiciji križnog umnožaka, M¯ mora biti okomito na ravninu koju čine vektori r¯ i F¯ i usmjereno u skladu s pravilom desne ruke (ako su četiri prsta desne ruke postavljena duž prvog pomnoženog vektor prema kraju drugog, zatim palac pokazuje kamo je usmjeren željeni vektor). Na slici možete vidjeti kamo je usmjeren vektor M¯ (plava strelica).
Skalarna notacija M¯
Na slici u prethodnom odlomku, sila (crvena strelica) djeluje na polugu pod kutom od 90o. U općem slučaju, može se primijeniti pod apsolutno bilo kojim kutom. Razmotrite sliku ispod.
Ovdje vidimo da sila F već djeluje na polugu L pod određenim kutom Φ. Za ovaj sustav, formula za moment sile u odnosu na točku (prikazanu strelicom) u skalarnom obliku imat će oblik:
M=LFsin(Φ)
Iz izraza slijedi da će moment sile M biti to veći, što je smjer djelovanja sile F bliži kutu 90o u odnosu na L Obrnuto, ako F djeluje duž L, tada je sin(0)=0 i sila ne stvara nikakav moment (M=0).
Kada se razmatra moment sile u skalarnom obliku, često se koristi koncept "poluge sile". Ova vrijednost je udaljenost između osi (točkarotacija) i vektor F. Primjenjujući ovu definiciju na gornju sliku, možemo reći da je d=Lsin(Φ) poluga sile (jednakost proizlazi iz definicije trigonometrijske funkcije "sinus"). Pomoću poluge sile, formula za trenutak M može se prepisati na sljedeći način:
M=dF
Fizičko značenje M
Razmatrana fizička veličina određuje sposobnost vanjske sile F da izvrši rotacijski učinak na sustav. Da bi se tijelo dovelo u rotacijsko kretanje, potrebno ga je obavijestiti o nekom trenutku M.
Odličan primjer ovog procesa je otvaranje ili zatvaranje vrata sobe. Držeći ručku, osoba se trudi i okreće vrata na šarkama. Svatko to može. Ako pokušate otvoriti vrata djelujući na njih u blizini šarki, morat ćete uložiti velike napore da ih pomaknete.
Još jedan primjer je otpuštanje matice ključem. Što je ova tipka kraća, to je teže izvršiti zadatak.
Naznačene značajke prikazane su formulom momenta sile preko ramena, koja je data u prethodnom stavku. Ako se M smatra konstantnom vrijednošću, onda što je manji d, to je veći F mora se primijeniti da bi se stvorio zadani moment sile.
Nekoliko djelujućih sila u sustavu
Gore su razmatrani slučajevi kada samo jedna sila F djeluje na sustav sposoban za rotaciju, ali što ako postoji nekoliko takvih sila? Doista, ova situacija je češća, jer sile mogu djelovati na sustavrazličite prirode (gravitacijske, električne, frikcione, mehaničke i druge). U svim ovim slučajevima, rezultirajući moment sile M¯ može se dobiti korištenjem vektorskog zbroja svih momenata Mi¯, tj.:
M¯=∑i(Mi¯), gdje je i broj snage Fi
Iz svojstva aditivnosti momenata slijedi važan zaključak, koji se zove Varignonov teorem, nazvan po matematičaru s kraja 17. - ranog 18. stoljeća - Francuzu Pierreu Varignonu. Ona glasi: "Zbroj momenata svih sila koje djeluju na sustav koji se razmatra može se predstaviti kao moment jedne sile, koji je jednak zbroju svih ostalih i primjenjuje se na određenu točku." Matematički, teorem se može napisati na sljedeći način:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Ovaj važan teorem se često koristi u praksi za rješavanje problema o rotaciji i ravnoteži tijela.
Da li djeluje trenutak sile?
Analizirajući gornje formule u skalarnom ili vektorskom obliku, možemo zaključiti da je vrijednost M neki rad. Doista, njegova dimenzija je Nm, što u SI odgovara džulu (J). Zapravo, moment sile nije rad, već samo količina koja je sposobna za to. Da bi se to dogodilo potrebno je kružno gibanje u sustavu i dugotrajno djelovanje M. Stoga se formula za rad momenta sile zapisuje na sljedeći način:
A=Mθ
BU ovom izrazu, θ je kut kroz koji je napravljena rotacija momentom sile M. Kao rezultat, jedinica rada može se napisati kao Nmrad ili Jrad. Na primjer, vrijednost od 60 Jrad označava da kada se zakrene za 1 radian (približno 1/3 kruga), sila F koja stvara u trenutku kada je M izvršio rad od 60 džula. Ova se formula često koristi pri rješavanju problema u sustavima u kojima djeluju sile trenja, kao što će biti prikazano u nastavku.
Moment sile i moment zamaha
Kao što je prikazano, utjecaj momenta M na sustav dovodi do pojave rotacijskog kretanja u njemu. Potonji karakterizira veličina koja se naziva "momentum". Može se izračunati pomoću formule:
L=Iω
Ovdje je I moment inercije (vrijednost koja igra istu ulogu u rotaciji kao i masa u linearnom gibanju tijela), ω je kutna brzina, povezana je s linearnom brzinom formulom ω=v/r.
Oba momenta (moment i sila) povezani su jedan s drugim sljedećim izrazom:
M=Iα, gdje je α=dω / dt kutno ubrzanje.
Dajmo još jednu formulu koja je važna za rješavanje problema za rad momenata sila. Pomoću ove formule možete izračunati kinetičku energiju rotirajućeg tijela. Ona izgleda ovako:
Ek=1/2Iω2
Dalje predstavljamo dva problema s rješenjima, gdje pokazujemo kako koristiti razmatrane fizičke formule.
Ravnoteža nekoliko tijela
Prvi zadatak se odnosi na ravnotežu sustava u kojem djeluje više sila. NaNa slici ispod prikazan je sustav na koji djeluju tri sile. Potrebno je izračunati koliku masu predmet mora biti obješen na ovu polugu i u kojoj točki to treba učiniti kako bi ovaj sustav bio u ravnoteži.
Iz uvjeta problema možemo razumjeti da za njegovo rješavanje treba koristiti Varignonov teorem. Na prvi dio problema može se odmah odgovoriti, budući da će težina predmeta koji će se objesiti na polugu biti:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Ovdje se znakovi biraju uzimajući u obzir da sila koja rotira polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu stvara negativni moment.
Položaj točke d, gdje treba objesiti ovu težinu, izračunava se po formuli:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Imajte na umu da smo koristeći formulu za moment gravitacije izračunali ekvivalentnu vrijednost M vrijednosti koju stvaraju tri sile. Da bi sustav bio u ravnoteži, potrebno je tijelo težine 35 N objesiti na točku 4, 714 m od osi s druge strane poluge.
Problem s premještanjem diska
Rješenje sljedećeg problema temelji se na korištenju formule za moment sile trenja i kinetičku energiju tijela okretanja. Zadatak: Zadan je disk polumjera r=0,3 metra, koji se rotira brzinom ω=1 rad/s. Potrebno je izračunati koliko daleko može prijeći po površini ako je koeficijent trenja kotrljanja Μ=0,001.
Ovaj problem je najlakše riješiti ako koristite zakon održanja energije. Imamo početnu kinetičku energiju diska. Kada se počne kotrljati, sva ta energija se zbog djelovanja sile trenja troši na zagrijavanje površine. Izjednačavajući obje veličine, dobivamo izraz:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Prvi dio formule je kinetička energija diska. Drugi dio je rad momenta sile trenja F=ΜN/r, primijenjen na rub diska (M=Fr).
S obzirom da je N=mg i I=1/2mr2, izračunavamo θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Budući da radijani 2pi odgovaraju duljini 2pir, tada dobivamo da je potrebna udaljenost koju će disk preći:
s=θr=2,293580,3=0,688 m ili oko 69 cm
Napominjemo da masa diska ne utječe na ovaj rezultat.
