Trokutna piramida i formule za određivanje njezine površine

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Piramida je geometrijski prostorni lik čije se karakteristike izučavaju u srednjoj školi na predmetu geometrije čvrstog tijela. U ovom članku ćemo razmotriti trokutastu piramidu, njene vrste, kao i formule za izračunavanje njezine površine.

O kojoj piramidi govorimo?

Trokutasta piramida je lik koji se može dobiti spajanjem svih vrhova proizvoljnog trokuta s jednom točkom koja ne leži u ravnini ovog trokuta. Prema ovoj definiciji, piramida koja se razmatra trebala bi se sastojati od početnog trokuta, koji se zove baza lika, i tri bočna trokuta koji imaju jednu zajedničku stranu s bazom i međusobno su spojeni u jednoj točki. Potonji se naziva vrhom piramide.

Slika iznad prikazuje proizvoljnu trokutastu piramidu.

Rasmatrana brojka može biti koso ili ravno. U potonjem slučaju, okomica spuštena s vrha piramide na njenu bazu mora je presjeći u geometrijskom središtu. geometrijsko središte bilo kojegtrokut je točka presjeka njegovih medijana. Geometrijsko središte podudara se sa središtem mase lika u fizici.

Ako pravilni (jednakostranični) trokut leži na bazi ravne piramide, onda se naziva pravilnim trokutom. U pravilnoj piramidi sve su stranice jednake jedna drugoj i jednakostranični su trokuti.

Ako je visina pravilne piramide takva da njezini bočni trokuti postaju jednakostranični, tada se naziva tetraedar. U tetraedru su sve četiri strane jednake jedna drugoj, pa se svaka od njih može smatrati bazom.

elementi piramide

Ovi elementi uključuju lica ili strane figure, njezine rubove, vrhove, visinu i apoteme.

Kao što je prikazano, sve strane trokutaste piramide su trokuti. Njihov broj je 4 (3 strane i jedan u bazi).

Vrhovi su točke presjeka triju trokutastih stranica. Nije teško pogoditi da ih za piramidu koja se razmatra ima 4 (3 pripadaju bazi, a 1 vrhu piramide).

Rubovi se mogu definirati kao linije koje sijeku dvije trokutaste strane, ili kao linije koje spajaju svaka dva vrha. Broj bridova odgovara dvostrukom broju vrhova baze, odnosno za trokutastu piramidu je 6 (3 brida pripadaju bazi, a 3 brida čine bočne strane).

Visina, kao što je gore navedeno, je duljina okomice povučene od vrha piramide do njezine baze. Ako iz ovog vrha povučemo visine na svaku stranu trokutaste baze,tada će se zvati apotemi (ili apotemi). Dakle, trokutasta piramida ima jednu visinu i tri apotema. Potonje su međusobno jednake za pravilnu piramidu.

Osnova piramide i njezino područje

Budući da je osnova za lik koji se razmatra općenito trokut, za izračunavanje njegove površine dovoljno je pronaći njegovu visinu h_o i duljinu stranice baze a, na kojem se spušta. Formula za područje S_o baze je:

S_o=1/2h_oa

Ako je trokut baze jednakostraničan, tada se površina baze trokutaste piramide izračunava pomoću sljedeće formule:

S_o=√3/4a²

To jest, površina S_o je jedinstveno određena duljinom strane a trokutaste baze.

Stranica i ukupna površina figure

Prije razmatranja površine trokutaste piramide, korisno je pokazati njezin razvoj. Ona je na slici ispod.

Površina ovog zamaha formiranog od četiri trokuta je ukupna površina piramide. Jedan od trokuta odgovara bazi, čija je formula za razmatranu vrijednost napisana gore. Tri bočna trokutasta lica zajedno čine bočno područje figure. Stoga je za određivanje ove vrijednosti dovoljno primijeniti gornju formulu za proizvoljni trokut na svaki od njih, a zatim dodati tri rezultata.

Ako je piramida točna, onda izračunbočna površina je olakšana, budući da su sve bočne površine identični jednakostranični trokuti. Označimo h_bdužinu apoteme, tada se površina bočne površine S_b može odrediti na sljedeći način:

S_b=3/2ah_b

Ova formula slijedi iz općeg izraza za površinu trokuta. Broj 3 se pojavio u brojnicima zbog činjenice da piramida ima tri bočne strane.

Apotema h_b u pravilnoj piramidi može se izračunati ako je poznata visina figure h. Primjenom Pitagorine teoreme dobivamo:

h_b=√(h²+ a²/12)

Očigledno, ukupna površina S površine figure jednaka je zbroju bočnih i baznih površina:

S=S_o+ S_b

Za pravilnu piramidu, zamjenom svih poznatih vrijednosti, dobivamo formulu:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Površina trokutaste piramide ovisi samo o duljini stranice njezine baze i o visini.

Primjer problema

Poznato je da je bočni rub trokutaste piramide 7 cm, a stranica baze 5 cm. Trebate pronaći površinu figure ako znate da je piramida je redovno.

Koristite opću jednakost:

S=S_o+ S_b

Površina S_o je jednako:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Da biste odredili bočnu površinu, morate pronaći apotemu. Nije teško pokazati da je kroz duljinu bočnog ruba a_b određena formulom:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Tada je područje S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Ukupna površina piramide je:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Napominjemo da prilikom rješavanja problema nismo koristili vrijednost visine piramide u izračunima.