Ovaj članak će jednostavno objasniti Black-Scholesovu formulu. Black-Scholesov model je matematički model dinamike financijskog tržišta koji sadrži izvedene instrumente ulaganja.
Iz parcijalne diferencijalne jednadžbe u modelu (poznate kao Black-Scholesova jednadžba) može se izvesti Black-Scholesova formula. Daje teoretsku cijenu opcije u europskom stilu i pokazuje da opcija ima jedinstvenu cijenu bez obzira na rizik vrijednosnog papira i njegov očekivani prinos (umjesto zamjene očekivanog prinosa vrijednosnog papira neutralnom stopom).
Formula je dovela do buma u trgovanju opcijama i dala matematički legitimitet Chicaškoj burzi opcija i drugim tržištima opcija diljem svijeta. Naširoko ga koriste, iako često uz prilagodbe i ispravke, sudionici na tržištu opcija. Na slikama u ovom članku možete vidjeti primjere Black-Scholesove formule.
Povijest i suština
Na temelju rada koji su prethodno razvili istraživači i praktičaritržišta kao što su Louis Bachelier, Sheen Kassouf i Ed Thorpe, Fisher Black i Myron Scholes u kasnim 1960-ima pokazala su da je dinamična revizija portfelja eliminirala očekivani povrat sigurnosti.
Godine 1970., nakon što su pokušali primijeniti formulu na tržištima i pretrpjeli financijske gubitke zbog nedostatka upravljanja rizicima u svojim profesijama, odlučili su se usredotočiti na svoje područje, akademiju. Nakon tri godine truda, formula, nazvana po njihovom proglašenju, konačno je objavljena 1973. u članku pod naslovom "Opcije cijena i korporativne obveznice" u časopisu Journal of Political Economy. Robert S. Merton bio je prvi koji je objavio rad koji je proširio matematičko razumijevanje modela određivanja cijena opcija i skovao pojam "Black-Scholesov model cijena".
Za svoj rad, Merton i Scholes su 1997. dobili Nobelovu memorijalnu nagradu za ekonomiju, odbor, navodeći svoje otkriće dinamičke revizije neovisne o riziku kao napredak koji odvaja opciju od temeljnog sigurnosnog rizika. Iako nije dobio nagradu zbog smrti 1995., Blacka je švedski akademik spomenuo kao sudionika. Na slici ispod možete vidjeti tipičnu formulu Black-Scholesa.
Opcije
Glavna ideja ovog modela je zaštititi opciju pravilnom kupnjom i prodajom temeljne imovine i, kao rezultat, eliminiranjem rizika. Ova vrsta zaštite naziva se "stalno ažurirana delta hedging". Onje osnova za složenije strategije poput onih koje koriste investicijske banke i hedge fondovi.
Upravljanje rizikom
Pretpostavke modela su opuštene i generalizirane u mnogim smjerovima, što je rezultiralo različitim modelima koji se trenutno koriste u određivanju cijena derivata i upravljanju rizikom. Upravo razumijevanje modela, kao što je prikazano u Black-Scholesovoj formuli, često koriste tržišni sudionici, za razliku od stvarnih cijena. Ovi detalji ne uključuju ograničenja arbitraže i određivanje cijena neutralnih rizika (zbog stalnog pregleda). Osim toga, Black-Scholesova jednadžba, parcijalna diferencijalna jednadžba koja određuje cijenu opcije, omogućuje numerički određivanje cijena kada eksplicitna formula nije moguća.
Volatilnost
Formula Black-Scholesa ima samo jedan parametar koji se ne može izravno promatrati na tržištu: prosječna buduća volatilnost temeljne imovine, iako se može pronaći po cijeni drugih opcija. Kako se vrijednost parametra (bilo put ili call) povećava u tom parametru, može se invertirati kako bi se proizvela "površina volatilnosti" koja se zatim koristi za kalibraciju drugih uzoraka kao što su OTC derivati.
Imajući ove pretpostavke na umu, pretpostavite da ovo tržište također trguje derivatima. Naznačavamo da će ovaj vrijednosni papir imati određenu isplatu na određeni datum u budućnosti, ovisno o vrijednosti koju preuzima dionica.prije ovog datuma. Iznenađujuće, cijena derivata sada je potpuno određena, iako ne znamo kojim će putem cijena dionice ići u budućnosti.
Za poseban slučaj europske call ili put opcije, Black and Scholes je pokazao da je moguće stvoriti zaštićenu poziciju koja se sastoji od duge pozicije u dionici i kratke pozicije u opciji, čija vrijednost ne bi ovisilo o cijeni dionica. Njihova dinamična strategija zaštite rezultirala je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja je odredila cijenu opcije. Njegovo rješenje je dano Black-Scholes formulom.
Razlika pojmova
Formula Black-Scholesa za excel može se protumačiti tako da prvo podijelite opciju poziva na razliku dvije binarne opcije. Call opcija razmjenjuje gotovinu za imovinu na isteku, dok imovina call sa ili bez imovine jednostavno daje sredstvo (bez gotovine u zamjenu), a bezgotovinski poziv jednostavno vraća novac (bez zamjene imovine)). Black-Scholesova formula za opciju je razlika dvaju pojmova, a ova dva pojma jednaka su vrijednosti binarnih opcija poziva. Ovim binarnim opcijama se trguje mnogo rjeđe od opcija vanile, ali ih je lakše analizirati.
U praksi se neke vrijednosti osjetljivosti obično skraćuju kako bi odgovarale ljestvici vjerojatnih promjena parametara. Na primjer, često se navodi rho podijeljen s 10000 (promjena za 1 baznu točku), vega sa 100 (promjena za 1 volumnu točku) i theta s 365.ili 252 (jednodnevno povlačenje na temelju kalendarskih dana ili dana trgovanja u godini).
Navedeni model može se proširiti za varijabilne (ali determinističke) stope i volatilnost. Model se također može koristiti za vrednovanje europskih opcija za instrumente isplate dividende. U ovom slučaju dostupna su rješenja zatvorenog oblika ako je dividenda poznati udio cijene dionice. Američke i dioničke opcije koje isplaćuju poznatu novčanu dividendu (kratkoročno realnije od proporcionalne dividende) teže je vrednovati i dostupan je izbor metoda rješenja (npr. rešetke i rešetke).
Pristup
Korisna aproksimacija: iako volatilnost nije konstantna, rezultati modela često pomažu u postavljanju zaštite u pravim omjerima kako bi se rizik minimizirao. Čak i ako rezultati nisu posve točni, oni služe kao prva aproksimacija kojoj se mogu izvršiti prilagodbe.
Osnovno za bolje modele: Black-Scholesov model je robustan u smislu da se može prilagoditi kako bi se nosio s nekim od svojih kvarova. Umjesto da neke parametre (kao što su volatilnost ili kamatne stope) tretiramo kao konstante, mi ih tretiramo kao varijable i tako dodajemo izvore rizika.
Ovo se odražava u Grcima (promjena vrijednosti opcije za promjenu ovih parametara ili ekvivalent djelomičnim izvedenicama s obzirom na ove varijable) i zaštita ovih Grkasmanjuje rizik uzrokovan promjenjivom prirodom ovih parametara. Međutim, drugi nedostaci ne mogu se otkloniti promjenom modela, posebice rizik repa i rizik likvidnosti, već se njima upravlja izvan modela, uglavnom minimiziranjem tih rizika i testiranjem otpornosti na stres.
Eksplicitno modeliranje
Eksplicitno modeliranje: Ova značajka znači da umjesto pretpostavke a priori volatilnosti i izračunavanja cijena iz nje, možete koristiti model za određivanje volatilnosti koji daje impliciranu volatilnost opcije po danim cijenama, vremenima i cijenama štrajka. Rješavanjem volatilnosti tijekom zadanog skupa trajanja štrajka i cijena, može se konstruirati implicirana površina volatilnosti.
U ovoj primjeni Black-Scholes modela dobiva se transformacija koordinata iz područja cijene u područje volatilnosti. Umjesto citiranja cijena opcija u dolarima po jedinici (koje je teško usporediti na temelju opomena, trajanja i učestalosti kupona), cijene opcija mogu se citirati u smislu implicirane volatilnosti, što dovodi do volatilnog trgovanja na tržištima opcija.
