Površina bočne površine pravilne četverokutne piramide: formule i primjeri problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Tipični geometrijski problemi u ravnini i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina različitih oblika. U ovom članku predstavljamo formulu za površinu bočne površine pravilne četverokutne piramide.

Što je piramida?

Dajmo strogu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da postoji neki poligon s n strana i n kutova. Odaberemo proizvoljnu točku u prostoru koja neće biti u ravnini navedenog n-kuta i spojimo je sa svakim vrhom poligona. Dobit ćemo lik koji ima neki volumen, koji se naziva n-kutna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažimo kako izgleda peterokutna piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena baza (n-kut) i vrh. Ti su elementi međusobno povezani s n trokuta, koji općenito nisu međusobno jednaki. Okomita pala izod vrha do dna naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom središtu (poklapa se sa središtem mase poligona), tada se takva piramida naziva ravna linija. Ako je, uz ovaj uvjet, baza pravilan poligon, tada se cijela piramida naziva pravilnom. Slika ispod prikazuje kako izgledaju pravilne piramide s trokutastim, četverokutnim, peterokutnim i šesterokutnim bazama.

površina piramide

Prije nego što pređemo na pitanje površine bočne površine pravilne četverokutne piramide, trebamo se zadržati na pojmu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida se sastoji od skupa lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n stranica su trokuti. Površina cijelog lika je zbroj površina svake njegove strane.

Zgodno je proučavati površinu na primjeru lika koji se odvija. Skeniranje pravilne četverokutne piramide prikazano je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri područja identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.

Ukupna površina svih trokuta koji čine stranice figure naziva se površina bočne površine. Zatim ćemo pokazati kako ga izračunati za pravilnu četverokutnu piramidu.

Površina bočne površine četverokutne pravilne piramide

Za izračunavanje površine bočne stranepovršine navedene figure, ponovno se okrećemo gore navedenom skeniranju. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trokuta ima bazu duljine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kolegija geometrije je poznato da je površina trokuta S_{t jednaka umnošku baze i visine, koju treba podijeliti na pola. To je:}

S_t=1/2h_ba.

Gdje je h_b visina jednakokračnog trokuta nacrtanog na osnovu a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje pomnožiti rezultirajući izraz sa 4 da dobijete površinu S_{bbočne površine za dotičnu piramidu:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je potonje poznato u većini uvjeta problema, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Ovdje su formule za izračunavanje apoteme h_{b za dva slučaja:}

• kada je poznata duljina bočnog rebra;
• kada je poznata visina piramide.

Ako duljinu bočnog ruba (stranicu jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h_{b određena formulom:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorinog teorema za trokut bočne površine.

Ako je poznatovisina h piramide, tada se apotema h_{b može izračunati na sljedeći način:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Dobivanje ovog izraza također nije teško ako unutar piramide razmotrimo pravokutni trokut koji čine katete h i a/2 i hipotenuza h_b.

Pokažimo kako primijeniti ove formule rješavanjem dva zanimljiva problema.

Problem s poznatom površinom

Poznato je da je bočna površina pravilne četverokutne piramide 108 cm². Potrebno je izračunati vrijednost duljine njezine apoteme h_{b, ako je visina piramide 7 cm.}

Napišimo formulu za površinu S_{bbočne površine kroz visinu. Imamo:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Ovdje smo upravo zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S_{b. Kvadirajmo obje strane jednadžbe:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Da bismo pronašli vrijednost a, izvršimo promjenu varijabli:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Sada zamjenjujemo poznate vrijednosti i rješavamo kvadratnu jednadžbu:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Napisali smo samo pozitivan korijen ove jednadžbe. Tada će stranice baze piramide biti:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Da biste dobili duljinu apoteme,samo upotrijebi formulu:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 vidi}

Bočna površina Keopsove piramide

Odredite vrijednost bočne površine najveće egipatske piramide. Poznato je da u njegovom podnožju leži kvadrat sa dužinom stranice od 230,363 metra. Visina strukture izvorno je bila 146,5 metara. Zamijenite ove brojeve u odgovarajuću formulu za S_{b, dobivamo:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 nogometnih igrališta.