Apotema piramide. Formule za apotem pravilne trokutaste piramide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Piramida je prostorni poliedar, ili poliedar, koji se javlja u geometrijskim problemima. Glavna svojstva ove figure su njezin volumen i površina, koji se izračunavaju iz poznavanja bilo koje dvije njegove linearne karakteristike. Jedna od tih karakteristika je apotema piramide. O tome će se raspravljati u članku.

Oblik piramide

Prije nego što damo definiciju apoteme piramide, upoznajmo se sa samim likom. Piramida je poliedar koji se sastoji od jedne n-kutne baze i n trokuta koji čine bočnu površinu figure.

Svaka piramida ima vrh - spojnu točku svih trokuta. Okomita povučena iz ovog vrha na bazu naziva se visina. Ako visina siječe bazu u geometrijskom središtu, tada se lik naziva ravnom linijom. Ravna piramida s jednakostraničnom bazom naziva se pravilna piramida. Slika prikazuje piramidu sa šesterokutnom bazom, koja se gleda sa strane lica i ruba.

Apotema desne piramide

Ona se također naziva apotema. Shvaća se kao okomica povučena od vrha piramide na stranu baze figure. Po definiciji, ova okomica odgovara visini trokuta koji čini bočnu stranu piramide.

Budući da razmatramo pravilnu piramidu s n-kutnom bazom, tada će svih n apotema za nju biti isti, budući da su takvi jednakokračni trokuti bočne površine lika. Imajte na umu da su identični apotemi svojstvo pravilne piramide. Za lik općeg tipa (kosi s nepravilnim n-kutom), svih n apotema bit će različiti.

Još jedno svojstvo apotema pravilne piramide je da je istovremeno visina, medijan i simetrala odgovarajućeg trokuta. To znači da ga ona dijeli na dva identična pravokutna trokuta.

Trokutna piramida i formule za određivanje njezine apoteme

U svakoj pravilnoj piramidi, važne linearne karakteristike su duljina stranice njezine baze, bočni rub b, visina h i apotema h_{b. Te su količine međusobno povezane odgovarajućim formulama, koje se mogu dobiti crtanjem piramide i razmatranjem potrebnih pravokutnih trokuta.}

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od 4 trokutasta lica, a jedno od njih (baza) mora biti jednakostranična. Ostalo su jednakokračne u općem slučaju. apotematrokutasta piramida može se odrediti u smislu drugih veličina pomoću sljedećih formula:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Prvi od ovih izraza vrijedi za piramidu s bilo kojom ispravnom bazom. Drugi izraz karakterističan je samo za trokutastu piramidu. Pokazuje da je apotema uvijek veća od visine figure.

Ne brkajte apotemu piramide s apotemom poliedra. U potonjem slučaju, apotema je okomit segment povučen na stranu poliedra iz njegovog središta. Na primjer, apotem jednakostraničnog trokuta je √3/6a.

Apothem zadatak

Neka je dana pravilna piramida s trokutom u bazi. Potrebno je izračunati njen apotem ako je poznato da je površina ovog trokuta 34 cm2, a sama piramida se sastoji od 4 identična lica.

U skladu s uvjetom zadatka, imamo posla s tetraedrom koji se sastoji od jednakostraničnih trokuta. Formula za površinu jednog lica je:

S=√3/4a2

Gdje dobivamo duljinu stranice a:

a=2√(S/√3)

Za određivanje apoteme h_{bkoristimo formulu koja sadrži bočni rub b. U slučaju koji se razmatra, njegova duljina je jednaka duljini baze, imamo:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Zamjena vrijednosti od a do S,dobivamo konačnu formulu:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Dobili smo jednostavnu formulu u kojoj apotem piramide ovisi samo o površini njezine baze. Zamijenimo li vrijednost S iz uvjeta zadatka, dobivamo odgovor: h_{b≈ 7, 674 cm.}