U geometriji se za proučavanje figura koriste dvije važne karakteristike: duljine stranica i kutovi između njih. U slučaju prostornih figura, tim karakteristikama se dodaju i diedralni kutovi. Razmotrimo što je to i također opišemo metodu za određivanje ovih kutova na primjeru piramide.
Koncept diedralnog kuta
Svatko zna da dvije linije koje se sijeku tvore kut s vrhom u točki njihovog presjeka. Taj se kut može izmjeriti kutomjerom ili možete koristiti trigonometrijske funkcije za izračunavanje. Kut koji čine dva prava kuta naziva se linearan.
Sada zamislite da u trodimenzionalnom prostoru postoje dvije ravnine koje se sijeku u ravnoj liniji. Prikazane su na slici.
Diedralni kut je kut između dvije ravnine koje se sijeku. Baš kao i linearni, mjeri se u stupnjevima ili radijanima. Ako u bilo koju točku pravca duž koje se sijeku ravnine, vratite dvije okomice,koji leže u tim ravninama, tada će kut između njih biti željeni diedar. Najlakši način za određivanje ovog kuta je korištenje općih jednadžbi ravnina.
Jednadžba ravnina i formula za kut između njih
Jednadžba bilo koje ravnine u prostoru općenito je zapisana na sljedeći način:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Ovdje su x, y, z koordinate točaka koje pripadaju ravnini, koeficijenti A, B, C, D su neki poznati brojevi. Pogodnost ove jednakosti za izračunavanje diedralnih kutova je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora smjera ravnine. Označit ćemo ga s n¯. Zatim:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ okomit je na ravninu. Kut između dvije ravnine jednak je kutu između njihovih vektora smjera n1¯ i n2¯. Iz matematike je poznato da je kut koji čine dva vektora jednoznačno određen iz njihovog skalarnog produkta. To vam omogućuje da napišete formulu za izračunavanje diedralnog kuta između dvije ravnine:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ako zamijenimo koordinate vektora, formula će biti napisana eksplicitno:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modul znak u brojniku koristi se za definiranje samo oštrog kuta, budući da je diedralni kut uvijek manji ili jednak 90o.
Piramida i njezini uglovi
Piramida je lik formiran od jednog n-kuta i n trokuta. Ovdje je n cijeli broj jednak broju stranica poligona koji je baza piramide. Ova prostorna figura je poliedar ili poliedar, budući da se sastoji od ravnih strana (strana).
Diedralni kutovi piramide-poliedra mogu biti dvije vrste:
- između baze i stranice (trokut);
- između dvije strane.
Ako se piramida smatra pravilnom, tada je lako odrediti imenovane kutove za nju. Da biste to učinili, koristeći koordinate tri poznate točke, potrebno je sastaviti jednadžbu ravnina, a zatim koristiti formulu danu u gornjem odlomku za kut φ.
U nastavku dajemo primjer u kojem pokazujemo kako pronaći diedralne kutove na bazi četverokutne pravilne piramide.
Četverokutna pravilna piramida i kut u njenoj osnovi
Pretpostavimo da je dana pravilna piramida s kvadratnom bazom. Duljina stranice kvadrata je a, visina lika je h. Pronađite kut između baze piramide i njene stranice.
Postavimo ishodište koordinatnog sustava u središte kvadrata. Zatim koordinate točakaA, B, C, D prikazani na slici će biti:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Razmotrimo ravnine ACB i ADB. Očito, vektor smjera n1¯ za ACB ravninu bit će:
1¯=(0; 0; 1).
Da biste odredili vektor smjera n2¯ ADB ravni, postupite na sljedeći način: pronađite dva proizvoljna vektora koja joj pripadaju, na primjer, AD¯ i AB¯, zatim izračunajte njihov vektorski rad. Njegov rezultat će dati koordinate n2¯. Imamo:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Budući da množenje i dijeljenje vektora brojem ne mijenja njegov smjer, transformiramo rezultirajući n2¯, dijeleći njegove koordinate s -a, dobivamo:
2¯=(h; 0; a/2).
Definirali smo vektorske vodilice n1¯ i n2¯ za ACB bazu i ADB bočne ravnine. Ostaje koristiti formulu za kut φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformirajte rezultirajući izraz i prepišite ga ovako:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Dobili smo formulu za diedralni kut na bazi za pravilnu četverokutnu piramidu. Poznavajući visinu figure i duljinu njegove stranice, možete izračunati kut φ. Na primjer, za Keopsovu piramidu, čija je osnovna strana 230,4 metara, a početna visina 146,5 metara, kut φ će biti 51,8o.
Također je moguće odrediti diedralni kut za četverokutnu pravilnu piramidu pomoću geometrijske metode. Da biste to učinili, dovoljno je razmotriti pravokutni trokut tvoren visinom h, polovicom duljine baze a/2 i apotemom jednakokračnog trokuta.
