Tipični linearni parametri svake piramide su duljine stranica njezine baze, visina, bočni rubovi i apoteme. Ipak, postoji još jedna karakteristika koja je povezana s navedenim parametrima - to je diedralni kut. Razmotrite u članku što je to i kako ga pronaći.
Piramida prostornih figura
Svaki student ima dobru ideju o tome što je u pitanju kada čuje riječ "piramida". Može se konstruirati geometrijski na sljedeći način: odaberite određeni poligon, zatim fiksirajte točku u prostoru i spojite je sa svakim kutom poligona. Dobivena trodimenzionalna figura bit će piramida proizvoljnog tipa. Mnogokut koji ga tvori naziva se baza, a točka na koju su spojeni svi njegovi uglovi je vrh lika. Slika ispod shematski prikazuje peterokutnu piramidu.
Može se vidjeti da njegovu površinu čini ne samo peterokut, već i pet trokuta. Općenito, broj ovih trokuta bit će jednak brojustranice poligonalne baze.
Dihedralni kutovi figure
Kada se geometrijski problemi razmatraju na ravnini, bilo koji kut formiraju dvije ravne crte ili segmenta koji se sijeku. U prostoru, tim linearnim kutovima, formiranim presjekom dviju ravnina, dodaju se diedralni kutovi.
Ako se označena definicija kuta u prostoru primijeni na dotičnu figuru, onda možemo reći da postoje dvije vrste diedralnih kutova:
- U podnožju piramide. Formira ga ravnina baze i bilo koja od bočnih strana (trokut). To znači da su bazni kutovi piramide n, gdje je n broj stranica poligona.
- Između stranica (trokuta). Broj ovih diedralnih kutova je također n komada.
Imajte na umu da je prvi tip razmatranih kutova izgrađen na rubovima baze, a drugi tip - na bočnim rubovima.
Kako izračunati kutove piramide?
Linearni kut diedralnog kuta je mjera potonjeg. Nije ga lako izračunati, jer se lica piramide, za razliku od lica prizme, u općem slučaju ne sijeku pod pravim kutom. Najpouzdanije je izračunati vrijednosti diedralnih kutova pomoću jednadžbi ravnine u općem obliku.
U trodimenzionalnom prostoru, ravnina je dana sljedećim izrazom:
Ax + By + Cz + D=0
Gdje su A, B, C, D neki realni brojevi. Pogodnost ove jednadžbe je da su prva tri označena broja koordinate vektora,koja je okomita na danu ravninu, tj.:
n¯=[A; B; C
Ako su poznate koordinate triju točaka koje pripadaju ravnini, tada se uzimanjem vektorskog umnožaka dvaju vektora izgrađenih na tim točkama mogu dobiti koordinate n¯. Vektor n¯ naziva se vodilica za ravninu.
Prema definiciji, diedralni kut nastao presjekom dviju ravnina jednak je linearnom kutu između njihovih vektora smjera. Pretpostavimo da imamo dvije ravnine čiji su normalni vektori jednaki:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2
Da biste izračunali kut φ između njih, možete koristiti svojstvo skalarnog proizvoda, tada odgovarajuća formula postaje:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Ili u obliku koordinata:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Pokažimo kako koristiti gornju metodu za izračunavanje diedralnih kutova pri rješavanju geometrijskih problema.
Uglovi pravilne četverokutne piramide
Pretpostavimo da postoji pravilna piramida u čijoj se osnovi nalazi kvadrat sa stranicom od 10 cm. Visina lika je12 cm. Potrebno je izračunati koliki su kutovi diedara u osnovi piramide i za njene stranice.
Budući da je figura navedena u uvjetu zadatka točna, odnosno ima visoku simetriju, tada su svi kutovi na bazi jednaki jedan drugom. Kutovi koje formiraju bočne strane također su isti. Da bismo izračunali tražene diedralne kutove, nalazimo vektore smjera za bazu i dvije bočne ravnine. Označite duljinu stranice baze slovom a, a visinu h.
Na gornjoj slici prikazana je četverokutna pravilna piramida. Ispišimo koordinate točaka A, B, C i D u skladu s unesenim koordinatnim sustavom:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Sada pronalazimo vektore smjera za osnovne ravnine ABC i dvije strane ABD i BCD u skladu s metodom opisanom u gornjem odlomku:
Za ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Za ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Za BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Sada ostaje primijeniti odgovarajuću formulu za kut φ i zamijeniti vrijednosti strane i visine iz iskaza problema:
Kut između ABC iABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
Ugao između ABD i BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a) 2/4)))=81, 49o
Izračunali smo vrijednosti kutova koje je trebalo pronaći prema uvjetu problema. Formule dobivene u rješavanju problema mogu se koristiti za određivanje diedralnih kutova četverokutnih pravilnih piramida s bilo kojim vrijednostima a i h.
Uglovi trokutaste pravilne piramide
Slika ispod prikazuje piramidu čija je osnova pravilan trokut. Poznato je da je diedralni kut između stranica pravi. Potrebno je izračunati površinu baze ako je poznato da je visina figure 15 cm.
Diedralni kut jednak 90o označen je kao ABC na slici. Problem možete riješiti gornjom metodom, ali u ovom slučaju ćemo to učiniti lakše. Označimo stranicu trokuta a, visinu lika - h, apotemu - hb i stranicurebro - b. Sada možete napisati sljedeće formule:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Budući da su dva bočna trokuta u piramidi ista, stranice AB i CB su jednake i kraci su trokuta ABC. Označimo njihovu duljinu s x, a zatim:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Izjednačavanjem površina bočnih trokuta i zamjenom apotema u odgovarajući izraz imamo:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Površina jednakostraničnog trokuta izračunava se na sljedeći način:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Zamijenite vrijednost visine iz uvjeta zadatka, dobivamo odgovor: S=584, 567 cm2.
