Prizma je prilično jednostavna geometrijska trodimenzionalna figura. Ipak, neki školarci imaju problema u određivanju njegovih glavnih svojstava, čiji je uzrok, u pravilu, povezan s pogrešno korištenom terminologijom. U ovom članku razmotrit ćemo što su prizme, kako se zovu, a također ćemo detaljno opisati ispravnu četverokutnu prizmu.
Prizma u geometriji
Proučavanje trodimenzionalnih figura zadatak je stereometrije - važnog dijela prostorne geometrije. U stereometriji se pod prizmom podrazumijeva takav lik, koji nastaje paralelnim prevođenjem proizvoljnog ravnog poligona na određenoj udaljenosti u prostoru. Paralelni prijevod podrazumijeva kretanje u kojem je potpuno isključena rotacija oko osi okomite na ravninu poligona.
Kao rezultat opisane metode dobivanja prizme, formira se lik ograničen s dvapoligoni jednakih dimenzija, koji leže u paralelnim ravninama i određeni broj paralelograma. Njihov se broj podudara s brojem stranica (vrhova) poligona. Identični poligoni nazivaju se bazama prizme, a njihova površina je površina baza. Paralelogrami koji spajaju dvije baze čine bočnu površinu.
Elementi prizme i Eulerov teorem
Budući da je trodimenzionalni lik koji se razmatra poliedar, odnosno formiran je skupom ravnina koje se sijeku, karakterizira ga određeni broj vrhova, bridova i strana. Sve su to elementi prizme.
Sredinom 18. stoljeća, švicarski matematičar Leonhard Euler uspostavio je vezu između broja osnovnih elemenata poliedra. Ovaj odnos je napisan sljedećom jednostavnom formulom:
Broj bridova=broj vrhova + broj lica - 2
Za bilo koju prizmu ova je jednakost istinita. Navedimo primjer njegove upotrebe. Pretpostavimo da postoji pravilna četverokutna prizma. Ona je na slici ispod.
Može se vidjeti da je broj vrhova za njega 8 (4 za svaku četverokutnu bazu). Broj stranica ili lica je 6 (2 baze i 4 bočna pravokutnika). Tada će broj rubova za to biti:
Broj rebara=8 + 6 - 2=12
Svi se mogu izbrojati ako se pozivate na istu sliku. Osam bridova leži na bazama, a četiri brida su okomita na te baze.
Puna klasifikacija prizmi
Važno je razumjeti ovu klasifikaciju kako se kasnije ne biste zabunili u terminologiji i upotrijebili ispravne formule za izračunavanje, na primjer, površine ili volumena figura.
Za svaku prizmu proizvoljnog oblika mogu se razlikovati 4 značajke koje će je karakterizirati. Nabrojimo ih:
- Prema broju uglova poligona u bazi: trokutasti, peterokutni, osmerokutni i tako dalje.
- Vrsta poligona. Može biti ispravno ili pogrešno. Na primjer, pravokutni trokut je nepravilan, ali je jednakostranični trokut ispravan.
- Prema vrsti konveksnosti poligona. Može biti konkavna ili konveksna. Konveksne prizme su najčešće.
- U kutovima između baza i bočnih paralelograma. Ako su svi ovi kutovi jednaki 90o, onda govore o pravoj prizmi, ako nisu svi pravi, onda se takav lik naziva kosim.
Od svih ovih točaka, želio bih se zadržati na posljednjoj. Ravna prizma naziva se i pravokutna prizma. To je zbog činjenice da su za njega paralelogrami pravokutnici u općem slučaju (u nekim slučajevima mogu biti kvadrati).
Na primjer, gornja slika prikazuje peterokutni konkavni pravokutni ili ravni lik.
pravilna četverokutna prizma
Osnova ove prizme je pravilan četverokut, odnosno kvadrat. Gornja slika je već pokazala kako ova prizma izgleda. Pored dva kvadrata koja jojograničiti vrh i dno, također uključuje 4 pravokutnika.
Označimo stranu baze pravilne četverokutne prizme slovom a, a duljina njenog bočnog ruba označit ćemo slovom c. Ova duljina je ujedno i visina figure. Tada se površina cijele površine ove prizme izražava formulom:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Ovdje prvi član odražava doprinos baza ukupnoj površini, drugi član je površina bočne površine.
Uzimajući u obzir uvedene oznake za duljine stranica, zapisujemo formulu za volumen predmetne figure:
V=a2c
To jest, volumen se izračunava kao umnožak površine kvadratne baze i duljine bočnog ruba.
oblik kocke
Ovu idealnu trodimenzionalnu figuru svi znaju, ali malo ljudi je mislilo da je to pravilna četverokutna prizma čija je stranica jednaka duljini stranice kvadratne baze, odnosno c=a.
Za kocku, formule za ukupnu površinu i volumen imat će oblik:
S=6a2
V=a3
Budući da je kocka prizma koja se sastoji od 6 identičnih kvadrata, svaki njihov paralelni par može se smatrati bazom.
Kocka je visoko simetrična figura, koja se u prirodi ostvaruje u obliku kristalnih rešetki mnogih metalnih materijala i ionskih kristala. Na primjer, rešetke od zlata, srebra, bakra i stolasoli su kubične.
