Kada proučavate apsolutno bilo koju prostornu figuru, važno je znati izračunati njezin volumen. Ovaj članak daje formulu za volumen pravilne četverokutne piramide, a također pokazuje kako ovu formulu treba koristiti na primjeru rješavanja problema.
O kojoj piramidi govorimo?
Svaki srednjoškolac zna da je piramida poliedar koji se sastoji od trokuta i poligona. Potonji je osnova figure. Trokuti imaju jednu zajedničku stranu s bazom i sijeku se u jednoj točki, koja je vrh piramide.
Svaku piramidu karakteriziraju duljina stranica baze, duljina bočnih bridova i visina. Potonji je okomit segment, spušten na bazu s vrha slike.
Pravilna četverokutna piramida je lik s kvadratnom bazom čija visina siječe ovaj kvadrat u njegovom središtu. Možda najpoznatiji primjer ove vrste piramida su staroegipatske kamene građevine. Ispod je fotografijaKeopsove piramide.
Proučavana figura ima pet lica, od kojih su četiri identična jednakokračna trokuta. Također ga karakterizira pet vrhova, od kojih četiri pripadaju bazi, i osam bridova (4 ruba baze i 4 ruba bočnih strana).
Formula za volumen četverokutne piramide je točna
Obujam dotične figure dio je prostora koji je ograničen s pet strana. Za izračunavanje ovog volumena koristimo sljedeću ovisnost površine odsječka paralelnog s bazom piramide Sz o vertikalnoj koordinati z:
Sz=So (h - z/h)2
Ovdje So je površina kvadratne baze. Ako u pisani izraz zamijenimo z=h, dobit ćemo nultu vrijednost za Sz. Ova vrijednost z odgovara isječku koji će sadržavati samo vrh piramide. Ako je z=0, tada dobivamo vrijednost površine baze So.
Lako je pronaći volumen piramide ako znate funkciju Sz(z), za to je dovoljno izrezati lik na beskonačan broj slojeva paralelno s bazom, a zatim izvedu operaciju integracije. Pratim ovu tehniku, dobivamo:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Zato što je S0površinu kvadratne baze, zatim, označavajući stranu kvadrata slovom a, dobivamo formulu za volumen pravilne četverokutne piramide:
V=1/3a2h.
Sad upotrijebimo primjere rješavanja problema da pokažemo kako ovaj izraz treba primijeniti.
Problem određivanja volumena piramide kroz njen apotem i bočni rub
Apotem piramide je visina njenog bočnog trokuta, koji je spušten na stranu baze. Budući da su svi trokuti jednaki u pravilnoj piramidi, njihovi će apotemi također biti isti. Označimo njegovu duljinu simbolom hb. Označite bočni rub kao b.
Znajući da je apotem piramide 12 cm, a bočni rub 15 cm, pronađite volumen pravilne četverokutne piramide.
Formula za volumen figure napisana u prethodnom odlomku sadrži dva parametra: duljinu stranice a i visinu h. Trenutno ne poznajemo nijednog od njih, pa pogledajmo njihove izračune.
Dužinu stranice kvadrata a lako je izračunati ako koristite Pitagorin teorem za pravokutni trokut, u kojem je hipotenuza rub b, a katete apotema h b i polovica stranice baze a/2. Dobivamo:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Zamjenom poznatih vrijednosti iz uvjeta, dobivamo vrijednost a=18 cm.
Da biste izračunali visinu h piramide, možete učiniti dvije stvari: razmislite o pravokutnomtrokut s hipotenuzom-bočnim rubom ili s hipotenuzom-apotemom. Obje metode su jednake i uključuju izvođenje istog broja matematičkih operacija. Zaustavimo se na razmatranju trokuta, gdje je hipotenuza apotema hb. Noge u njemu bit će h i a / 2. Tada dobivamo:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Sada možete koristiti formulu za volumen V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Dakle, volumen pravilne četverokutne piramide iznosi približno 0,86 litara.
Vumen Keopsove piramide
Sad riješimo zanimljiv i praktički važan problem: pronađite volumen najveće piramide u Gizi. Iz literature je poznato da je prvobitna visina građevine bila 146,5 metara, a duljina njezine osnove 230,363 metra. Ovi brojevi nam omogućuju da primijenimo formulu za izračunavanje V. Dobivamo:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Rezultirajuća vrijednost je gotovo 2,6 milijuna m3. Ovaj volumen odgovara volumenu kocke čija je stranica 137,4 metara.
