Maclaurin serija i proširenje nekih funkcija

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Studenti više matematike trebaju biti svjesni da se zbroj nekog niza stepena koji pripada intervalu konvergencije zadanog niza pokazuje kao kontinuirana i neograničen broj puta diferencirana funkcija. Postavlja se pitanje: je li moguće ustvrditi da je data proizvoljna funkcija f(x) zbroj nekog potencijskog niza? Odnosno, pod kojim uvjetima se funkcija f(x) može predstaviti nizom potenciranja? Važnost ovog pitanja leži u činjenici da je funkciju f(x) moguće približno zamijeniti zbrojem prvih nekoliko članova niza stepena, odnosno polinomom. Takva zamjena funkcije prilično jednostavnim izrazom - polinomom - također je prikladna za rješavanje nekih problema matematičke analize, i to: kod rješavanja integrala, kod izračunavanja diferencijalnih jednadžbi, itd.

Dokazano je da se za neku funkciju f(h) gdje se derivacije do (n+1)-og reda, uključujući i posljednji, mogu izračunati u susjedstvu (α _{- R; x}0 _{+ R) neke točke x=α vrijedi formula:}

Ova formula je dobila ime po poznatom znanstveniku Brooku Tayloru. Niz koji je dobiven iz prethodnog naziva se Maclaurinov niz:

Pravilo koje omogućuje proširenje Maclaurinove serije:

1. Odredite izvedenice prvog, drugog, trećeg… reda.
2. Izračunajte čemu su jednaki derivati na x=0.
3. Snimite Maclaurinov niz za ovu funkciju, a zatim odredite interval njegove konvergencije.
4. Odredite interval (-R;R) u kojem je ostatak Maclaurinove formule

R (x) -> 0 za n -> beskonačnost. Ako postoji, funkcija f(x) u njoj mora se podudarati sa zbrojem Maclaurinovog reda.

Sada razmotrite Maclaurin seriju za pojedinačne funkcije.

1. Dakle, prvi će biti f(x)=e^x. Naravno, prema svojim značajkama, takva funkcija ima derivate različitih redova, a f^(k)(x)=e^x, gdje je k jednako svim prirodni brojevi. Zamijenimo x=0. Dobivamo f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{bi izgledalo ovako:}

2. Maclaurinov red za funkciju f(x)=sin x. Odmah pojasnite da će funkcija za sve nepoznanice imati derivacije, osim f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), gdje je k jednako bilo kojem prirodnom broju. Odnosno, nakon jednostavnih proračuna, možemo doći do zaključka da će niz za f(x)=sin x izgledati ovako:}

3. Pokušajmo sada razmotriti funkciju f(x)=cos x. Ona je za sve nepoznatoima derivate proizvoljnog reda, a |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Opet, nakon nekih izračuna, dobivamo da će niz za f(x)=cos x izgledati ovako:

Dakle, naveli smo najvažnije funkcije koje se mogu proširiti u Maclaurin seriji, ali su za neke funkcije dopunjene Taylorovom serijom. Sada ćemo ih navesti. Također je vrijedno napomenuti da su Taylorov i Maclaurin nizovi važan dio prakse rješavanja nizova u višoj matematici. Dakle, serija Taylor.

1. Prvi će biti niz za f-ii f(x)=ln(1+x). Kao iu prethodnim primjerima, s obzirom na f (x)=ln (1 + x), možemo dodati niz koristeći opći oblik Maclaurinovog reda. međutim, za ovu funkciju Maclaurinov niz može se dobiti mnogo jednostavnije. Nakon integracije određenog geometrijskog niza, dobivamo niz za f(x)=ln(1+x) ovog uzorka:

2. A drugi, koji će biti konačan u našem članku, bit će niz za f (x) u003d arctg x. Za x koji pripada intervalu [-1;1], proširenje je važeće:

To je to. Ovaj članak ispitao je najčešće korištene serije Taylora i Maclaurina u višoj matematici, posebice na ekonomskim i tehničkim sveučilištima.