Koncept prizme. Formule volumena za prizme različitih vrsta: pravilne, ravne i kose. Rješenje problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Volume je karakteristika svake figure koja ima dimenzije različite od nule u sve tri dimenzije prostora. U ovom članku, sa stajališta stereometrije (geometrije prostornih figura), razmotrit ćemo prizmu i pokazati kako pronaći volumene prizmi raznih vrsta.

Što je prizma?

Stereometrija ima točan odgovor na ovo pitanje. Prizma u njoj shvaća se kao lik kojeg čine dva identična poligonalna lica i nekoliko paralelograma. Slika ispod prikazuje četiri različite prizme.

Svaki od njih se može dobiti na sljedeći način: trebate uzeti poligon (trokut, četverokut i tako dalje) i segment određene duljine. Zatim svaki vrh poligona treba prenijeti pomoću paralelnih segmenata u drugu ravninu. U novoj ravnini, koja će biti paralelna s originalnom, dobit će se novi poligon, sličan onom koji je prvobitno odabran.

Prizme mogu biti različitih vrsta. Dakle, mogu biti ravni, kosi i ispravni. Ako bočni rub prizme (segment,spajanje vrhova baza) okomito na baze lika, tada je potonja ravna crta. Sukladno tome, ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda govorimo o nagnutoj prizmi. Pravilan lik je prava prizma s jednakokutnom i jednakostraničnom bazom.

Kasnije u članku ćemo pokazati kako izračunati volumen svake od ovih vrsta prizmi.

Zapremina pravilnih prizmi

Počnimo s najjednostavnijim slučajem. Dajemo formulu za volumen pravilne prizme s n-kutnom bazom. Formula volumena V za bilo koju figuru klase koja se razmatra je sljedeća:

V=S_oh.

To jest, da bi se odredio volumen, dovoljno je izračunati površinu jedne od baza S_o i pomnožiti je s visinom h figure.

U slučaju pravilne prizme, označimo duljinu stranice njezine baze slovom a, a visinu, koja je jednaka duljini bočnog ruba, slovom h. Ako je baza n-kuta točna, tada je najlakši način izračunati njegovu površinu korištenjem sljedeće univerzalne formule:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Zamjenjujući vrijednost broja stranica n i duljine jedne strane a u jednakost, možete izračunati površinu n-kutne baze. Imajte na umu da je kotangens funkcija ovdje izračunata za kut pi/n, koji je izražen u radijanima.

S obzirom na jednakost napisanu za S, dobivamo konačnu formulu za volumen pravilne prizme:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Za svaki poseban slučaj možete napisati odgovarajuće formule za V, ali svejedinstveno proizlaze iz napisanog općeg izraza. Na primjer, za pravilnu četverokutnu prizmu, koja je u općem slučaju pravokutni paralelepiped, dobivamo:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Ako uzmemo h=a u ovom izrazu, tada ćemo dobiti formulu za volumen kocke.

Zapremina izravnih prizmi

Odmah napominjemo da za ravne figure ne postoji opća formula za izračunavanje volumena, koja je gore navedena za pravilne prizme. Prilikom pronalaženja dotične vrijednosti treba koristiti izvorni izraz:

V=S_oh.

Ovdje je h duljina bočnog ruba, kao u prethodnom slučaju. Što se tiče površine baze S_o, ona može poprimiti različite vrijednosti. Zadatak izračunavanja ravne prizme volumena svodi se na pronalaženje površine njezine baze.

Izračun vrijednosti S_o treba izvršiti na temelju karakteristika same baze. Na primjer, ako je trokut, tada se površina može izračunati ovako:

S_o3=1/2ah_a.

Ovdje h_a je apotem trokuta, odnosno njegova visina spuštena na bazu a.

Ako je baza četverokut, onda to može biti trapez, paralelogram, pravokutnik ili potpuno proizvoljan tip. Za sve ove slučajeve trebate koristiti odgovarajuću formulu planimetrije za određivanje područja. Na primjer, za trapez ova formula izgleda ovako:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Gdje je h_a visina trapeza, a₁ i a₂ su duljine njegovih paralelnih stranica.

Da biste odredili područje za poligone višeg reda, trebate ih podijeliti na jednostavne oblike (trokute, četverokute) i izračunati zbroj površina potonjih.

Volumen nagnute prizme

Ovo je najteži slučaj izračunavanja volumena prizme. Opća formula za takve brojke također vrijedi:

V=S_oh.

Međutim, na složenost pronalaženja površine baze koja predstavlja proizvoljni tip poligona, dodaje se i problem određivanja visine figure. Uvijek je manji od duljine bočnog ruba u nagnutoj prizmi.

Najlakši način da pronađete ovu visinu je ako znate bilo koji kut figure (ravni ili diedarski). Ako je zadan takav kut, onda ga treba koristiti za konstruiranje pravokutnog trokuta unutar prizme, koji bi sadržavao visinu h kao jednu od stranica i pomoću trigonometrijskih funkcija i Pitagorinog teorema pronaći vrijednost h.

Problem s geometrijskim volumenom

Dana je pravilna prizma s trokutastom bazom, visine 14 cm i duljine stranice od 5 cm. Koliki je volumen trokutaste prizme?

Budući da je riječ o ispravnoj cifri, imamo pravo koristiti dobro poznatu formulu. Imamo:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trokutasta prizma je prilično simetrična figura u obliku koje se često izrađuju različite arhitektonske strukture. Ova staklena prizma se koristi u optici.