Prizma je poliedar ili poliedar, koji se izučava u školskom kolegiju geometrije čvrstog tijela. Jedno od važnih svojstava ovog poliedra je njegov volumen. Razmotrimo u članku kako se ova vrijednost može izračunati, a također dajemo formule za volumen prizmi - pravilne četverokutne i šesterokutne.
Prizma u stereometriji
Ova figura se shvaća kao poliedar, koji se sastoji od dva identična poligona smještena u paralelnim ravninama i od nekoliko paralelograma. Za određene vrste prizmi, paralelogrami mogu predstavljati pravokutne četverokute ili kvadrate. Ispod je primjer takozvane peterokutne prizme.
Da biste izgradili lik kao na gornjoj slici, trebate uzeti pentagon i izvršiti njegov paralelni prijenos na određenu udaljenost u prostoru. Spajanjem stranica dvaju peterokuta pomoću paralelograma, dobivamo željenu prizmu.
Svaka prizma se sastoji od lica, vrhova i bridova. Vrhovi prizmeza razliku od piramide, jednake su, svaka od njih se odnosi na jednu od dvije baze. Lica i rubovi su dvije vrste: oni koji pripadaju bazama i oni koji pripadaju stranicama.
Prizme su nekoliko vrsta (ispravne, kose, konveksne, ravne, konkavne). Razmotrimo kasnije u članku po kojoj se formuli izračunava volumen prizme, uzimajući u obzir oblik figure.
Opći izraz za određivanje volumena prizme
Bez obzira kojoj vrsti pripada figura koja se proučava, je li ravna ili koso, pravilna ili nepravilna, postoji univerzalni izraz koji vam omogućuje da odredite njezin volumen. Volumen prostorne figure je površina prostora koja je zatvorena između njezinih lica. Opća formula za volumen prizme je:
V=So × h.
Ovdje So predstavlja površinu baze. Treba imati na umu da govorimo o jednoj osnovi, a ne o dvije. Vrijednost h je visina. Visina proučavane figure podrazumijeva se kao udaljenost između njezinih identičnih baza. Ako se ta udaljenost poklapa s duljinama bočnih rebara, onda se govori o ravnoj prizmi. U ravnoj slici sve su stranice pravokutnici.
Dakle, ako je prizma kosa i ima poligon nepravilne baze, tada izračunavanje njezina volumena postaje kompliciranije. Ako je broj ravna, tada se izračun volumena svodi samo na određivanje površine baze So.
Određivanje volumena regularne brojke
Regularna je svaka prizma koja je ravna i ima poligonalnu osnovu sa stranicama i kutovima jednakim jedna drugoj. Na primjer, takvi pravilni poligoni su kvadrat i jednakostranični trokut. U isto vrijeme, romb nije pravilan lik, jer nisu svi njegovi kutovi jednaki.
Formula za volumen pravilne prizme nedvosmisleno slijedi iz općeg izraza za V, koji je napisan u prethodnom odlomku članka. Prije nego što nastavite s pisanjem odgovarajuće formule, potrebno je odrediti površinu ispravne baze. Ne ulazeći u matematičke detalje, donosimo formulu za određivanje naznačene površine. Univerzalno je za svaki regularni n-kut i ima sljedeći oblik:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kao što možete vidjeti iz izraza, područje Sn je funkcija dvaju parametara. Cijeli broj n može imati vrijednosti od 3 do beskonačnosti. Vrijednost a je duljina stranice n-kuta.
Za izračunavanje volumena figure potrebno je samo pomnožiti površinu S s visinom h ili duljinom bočnog ruba b (h=b). Kao rezultat, dolazimo do sljedeće radne formule:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Imajte na umu da za određivanje volumena prizme proizvoljnog tipa morate znati nekoliko veličina (duljine stranica baze, visina, diedralni kutovi figure), ali da biste izračunali vrijednost V od pravilnu prizmu, moramo znati samo dva linearna parametra, na primjer, a i h.
Obujam četverokutne pravilne prizme
Četverokutna prizma naziva se paralelepiped. Ako su mu sva lica jednaka i kvadrati, tada će takav lik biti kocka. Svaki učenik zna da se volumen pravokutnog paralelepipeda ili kocke određuje množenjem njegove tri različite strane (dužine, visine i širine). Ova činjenica proizlazi iz napisanog općeg izraza volumena za regularni broj:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Ovdje je kotangens od 45° jednak 1. Imajte na umu da jednakost visine h i duljine stranice baze a automatski vodi do formule za volumen kocke.
Zapremina heksagonalne pravilne prizme
Sada primijenite gornju teoriju da odredite volumen figure s šesterokutnom bazom. Da biste to učinili, trebate samo zamijeniti vrijednost n=6 u formuli:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Pisani izraz se može dobiti samostalno bez korištenja univerzalne formule za S. Da biste to učinili, trebate podijeliti pravilni šesterokut na šest jednakostraničnih trokuta. Stranica svakog od njih bit će jednaka a. Površina jednog trokuta odgovara:
S3=√3/4 × a2.
Množenjem ove vrijednosti brojem trokuta (6) i visinom, dobivamo gornju formulu za volumen.
