Mogućnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je u rješavanju brojnih praktičnih problema u geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti formule za volumen piramide, pune i skraćene.
Piramida kao trodimenzionalna figura
Svi znaju za egipatske piramide, tako da imaju dobru ideju o kojoj će figuri biti riječi. Međutim, egipatske kamene građevine samo su poseban slučaj velike klase piramida.
Razmatrani geometrijski objekt u općem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan s nekom točkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravnini. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.
Svaka piramida sastoji se od n+1 lica, 2n bridova i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata podliježu Eulerovoj jednakosti:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poligon u bazi daje ime piramide,na primjer, trokutasti, peterokutni i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na fotografiji ispod.
Točka u kojoj su spojeni n trokuta figure naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom središtu, tada će se takav lik nazvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, postoji nagnuta piramida.
Pravi lik čiju bazu čini jednakostranični (jednakokutni) n-kut naziva se pravilnim.
formula volumena piramide
Za izračunavanje volumena piramide koristimo integralni račun. Da bismo to učinili, dijelimo lik po sekantnim ravninama paralelnim s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Slika ispod prikazuje četverokutnu piramidu visine h i duljine stranice L, u kojoj je tanak sloj presjeka označen četverokutom.
Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Ovdje A0 je površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z=0, tada formula daje vrijednost A0.
Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:
V=∫h0(A(z)dz).
Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.
Napominjemo da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. Odnosno, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-kut.
Točna piramida i njezin volumen
Opća formula za volumen dobivena u gornjem odlomku može se pročistiti u slučaju piramide s ispravnom bazom. Površina takve baze izračunava se pomoću sljedeće formule:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Ovdje je L duljina stranice pravilnog poligona s n vrhova. Simbol pi je broj pi.
Zamjenom izraza za A0 u opću formulu, dobivamo volumen pravilne piramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula vodi do sljedećeg izraza:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena postaje:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove baze i visine figure.
Krunja piramida
Pretpostavimo da smo uzeliproizvoljnu piramidu i odrezati dio njezine bočne površine koja sadrži vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s nekim koeficijentom k.
Slika iznad prikazuje skraćenu pravilnu šesterokutnu piramidu. Vidi se da njegovu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.
Formula za volumen krnje piramide, koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog danom, glasi:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Gdje su A0 i A1 područja donje (velike) i gornje (male) baze, redom. Varijabla h je visina krnje piramide.
Vumen Keopsove piramide
Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji najveća egipatska piramida sadrži u sebi.
Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman utvrdili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutačno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane konstrukcije bila je 230.363 metra. Baza piramide je kvadratna s visokom preciznošću.
Upotrijebimo dane brojke da odredimo volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:
V4=1/3L2h.
Zamijenite brojeve, dobivamo:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Zapremina Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m3. Za usporedbu, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuća m3. To jest, da bi se popunila cijela Keopsova piramida, bit će potrebno više od 1000 ovih bazena!
