Površina bočne površine i volumen krnje piramide: formule i primjer rješavanja tipičnog problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Kada se proučavaju svojstva figura u trodimenzionalnom prostoru u okviru stereometrije, često se moraju rješavati problemi za određivanje volumena i površine. U ovom članku ćemo pokazati kako izračunati volumen i bočnu površinu krnje piramide koristeći dobro poznate formule.

Piramida u geometriji

U geometriji, obična piramida je lik u prostoru, koji je izgrađen na nekom ravnom n-kutu. Svi njegovi vrhovi povezani su s jednom točkom koja se nalazi izvan ravnine poligona. Na primjer, ovdje je fotografija koja prikazuje peterokutnu piramidu.

Ovu figuru čine lica, vrhovi i bridovi. Pentagonalno lice naziva se baza. Preostala trokutasta lica tvore bočnu površinu. Točka presjeka svih trokuta je glavni vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu, tada su moguće dvije opcije za položaj točke presjeka:

• u geometrijskom središtu, tada se piramida naziva ravna linija;
• nije ugeometrijsko središte, tada će lik biti koso.

Dalje ćemo razmatrati samo ravne figure s pravilnom n-kutnom bazom.

Koja je ovo figura - krnja piramida?

Da bi se odredio volumen krnje piramide, potrebno je jasno razumjeti o kojoj se figuri konkretno radi. Razjasnimo ovaj problem.

Pretpostavimo da uzmemo reznu ravninu koja je paralelna s bazom obične piramide i njome odsiječemo dio bočne površine. Ako se ova operacija izvrši s gore prikazanom peterokutnom piramidom, dobit ćete lik kao na slici ispod.

Sa fotografije se vidi da ova piramida već ima dvije baze, a gornja je slična donjoj, ali je manja. Bočna površina više nije predstavljena trokutima, već trapezima. One su jednakokračne, a njihov broj odgovara broju stranica baze. Skraćeni lik nema glavni vrh, kao pravilna piramida, a njegova je visina određena razmakom između paralelnih baza.

U općem slučaju, ako je lik koji se razmatra formiran od n-gonalnih baza, ima n+2 lica ili stranica, 2n vrhova i 3n bridova. Odnosno, skraćena piramida je poliedar.

Formula za volumen krnje piramide

Podsjetimo da je volumen obične piramide 1/3 umnoška njezine visine i površine baze. Ova formula nije prikladna za skraćenu piramidu, jer ima dvije baze. I njegov volumenuvijek će biti manja od iste vrijednosti za regularnu brojku iz koje je izvedena.

Ne ulazeći u matematičke detalje dobivanja izraza, predstavljamo konačnu formulu za volumen krnje piramide. Piše se kako slijedi:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Ovdje S₁ i S_{2 su površine donje i gornje baze, h je visina figure. Napisani izraz vrijedi ne samo za ravnu pravilnu skraćenu piramidu, već i za bilo koju figuru ove klase. Štoviše, bez obzira na vrstu temeljnih poligona. Jedini uvjet koji ograničava upotrebu izraza za V je potreba da baze piramide budu paralelne jedna s drugom.}

Proučavanjem svojstava ove formule može se izvući nekoliko važnih zaključaka. Dakle, ako je površina gornje baze nula, dolazimo do formule za V obične piramide. Ako su površine baza jednake jedna drugoj, tada dobivamo formulu za volumen prizme.

Kako odrediti bočnu površinu?

Poznavanje karakteristika krnje piramide zahtijeva ne samo sposobnost izračunavanja njenog volumena, već i znati odrediti površinu bočne površine.

Krunja piramida sastoji se od dvije vrste lica:

• jednakokračni trapezi;
• poligonalne baze.

Ako postoji pravilan poligon u bazama, tada izračun njegove površine ne predstavlja velikuteškoće. Da biste to učinili, trebate samo znati duljinu stranice a i njihov broj n.

U slučaju bočne površine, izračun njezine površine uključuje određivanje ove vrijednosti za svaki od n trapeza. Ako je n-kut točan, tada formula za bočnu površinu postaje:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Ovdje h_b je visina trapeza, koji se naziva apotema figure. Količine a₁ i a_{2su duljine stranica pravilnih n-kutnih baza.}

Za svaku pravilnu n-kutnu skraćenu piramidu, apotema h_b može se jedinstveno definirati kroz parametre a₁ i a _{2i visina h oblika.}

Zadatak izračunavanja volumena i površine figure

Dana je pravilna trokutasta skraćena piramida. Poznato je da je njena visina h 10 cm, a duljine stranica baza 5 cm i 3 cm. Koliki je volumen krnje piramide i površina njezine bočne površine?

Prvo, izračunajmo vrijednost V. Da biste to učinili, pronađite područja jednakostraničnih trokuta koji se nalaze na bazama figure. Imamo:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Zamijenite podatke u formulu za V, dobivamo željeni volumen:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Za određivanje bočne površine, trebali biste znatiduljina apoteme h_{b. Uzimajući u obzir odgovarajući pravokutni trokut unutar piramide, možemo napisati jednakost za njega:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Vrijednost apoteme i stranice trokutastih baza zamjenjuju se u izraz za S_{bi dobivamo odgovor:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Tako smo odgovorili na sva pitanja problema: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.