Jedan od temeljnih dijelova matematičke analize je integralni račun. Pokriva najšire polje objekata, gdje je prvi neodređeni integral. Vrijedi ga pozicionirati kao ključ, koji čak iu srednjoj školi otkriva sve veći broj perspektiva i prilika koje opisuje viša matematika.
Izgled
Na prvi pogled integral se čini krajnje moderan, relevantan, no u praksi se ispostavilo da se pojavio već 1800. pr. Egipat se službeno smatra domovinom, jer raniji dokazi o njegovom postojanju nisu stigli do nas. On se, zbog neinformiranosti, cijelo to vrijeme pozicionirao jednostavno kao fenomen. Još jednom je potvrdio stupanj razvoja znanosti među narodima tog vremena. Konačno, pronađeni su radovi starogrčkih matematičara koji datiraju iz 4. stoljeća prije Krista. Oni su opisali metodu u kojoj je korišten neodređeni integral, čija je suština bila pronaći volumen ili površinu krivolinijskog lika (trodimenzionalnogodnosno dvodimenzionalne ravnine). Princip izračuna temeljio se na podjeli izvorne figure na beskonačno male komponente, pod uvjetom da je njihov volumen (površina) već poznat. S vremenom je metoda rasla, Arhimed ju je koristio da pronađe područje parabole. Slične su izračune u isto vrijeme izveli znanstvenici u staroj Kini, a bili su potpuno neovisni o svojim grčkim kolegama u znanosti.
Razvoj
Sljedeći proboj u 11. stoljeću naše ere bio je djelo arapskog znanstvenika-"univerzalca" Abu Alija al-Basrija, koji je pomaknuo granice onoga što je već bilo poznato, izvodeći formule temeljene na integralu za izračunavanje zbroja redaka i zbroja potencija od prvog do četvrtog, primjenjujući za to nama poznatu metodu matematičke indukcije.
Umovi modernog doba dive se kako su stari Egipćani stvarali nevjerojatne arhitektonske spomenike bez ikakvih posebnih uređaja, osim možda svojih ruku, ali nije li moć uma tadašnjih znanstvenika ništa manje čudo? U usporedbi s današnjim životom im se čini gotovo primitivnim, ali rješenje neodređenih integrala izvedeno je posvuda i korišteno u praksi za daljnji razvoj.
Sljedeći korak dogodio se u 16. stoljeću, kada je talijanski matematičar Cavalieri razvio metodu nedjeljivih, koju je preuzeo Pierre Fermat. Upravo su te dvije osobnosti postavile temelj za moderni integralni račun, koji je trenutno poznat. Povezali su pojmove diferencijacije i integracije, koji su prije bilitretiraju kao autonomne jedinice. Uglavnom, matematika tog vremena bila je fragmentirana, čestice zaključaka postojale su same, s ograničenim opsegom. Put ujedinjenja i traženja zajedničkih osnova bio je jedini pravi u to vrijeme, zahvaljujući kojem je moderna matematička analiza dobila priliku rasti i razvijati se.
Sve se promijenilo tijekom vremena, uključujući i zapis integrala. Uglavnom, znanstvenici su to označili svim sredstvima, na primjer, Newton je koristio kvadratnu ikonu u koju je stavio integrabilnu funkciju ili je jednostavno stavio pored nje.
Ova nedosljednost se nastavila sve do 17. stoljeća, kada je znanstvenik Gottfried Leibniz, orijentir za cjelokupnu teoriju matematičke analize, uveo simbol koji nam je tako poznat. Izduženo "S" doista se temelji na ovom slovu latinice, jer označava zbroj antiderivata. Integral je ime dobio zahvaljujući Jacobu Bernoulliju 15 godina kasnije.
Formalna definicija
Neodređeni integral izravno ovisi o definiciji antiderivata, pa ga prvo razmotrimo.
Antiderivat je funkcija koja je inverzna od derivacije, u praksi se naziva i primitivna. Inače: antiderivat funkcije d je funkcija D čiji je izvod jednak v V'=v. Potraga za antiderivatom je izračunavanje neodređenog integrala, a sam taj proces naziva se integracija.
Primjer:
Funkcija s(y)=y3, a njezin antiderivat S(y)=(y4/4).
Skup svih antiderivacija razmatrane funkcije je neodređeni integral, označava se na sljedeći način: ∫v(x)dx.
Zbog činjenice da je V(x) samo neki antiderivat izvorne funkcije, dolazi do izraza: ∫v(x)dx=V(x) + C, gdje je C konstanta. Proizvoljna konstanta je bilo koja konstanta, budući da je njezin izvod jednak nuli.
Svojstva
Svojstva koja ima neodređeni integral temelje se na glavnoj definiciji i svojstvima izvedenica.
Pogledajmo ključne točke:
- integral iz derivacije antiderivata je sam antideritiv plus proizvoljna konstanta S ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivacija integrala funkcije je izvorna funkcija (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta je uzeta ispod znaka integrala ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, gdje je k proizvoljan;
- integral uzet iz zbroja identično je jednak zbroju integrala ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Iz posljednja dva svojstva možemo zaključiti da je neodređeni integral linearan. Zahvaljujući tome imamo: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Za konsolidaciju razmotrite primjere rješavanja neodređenih integrala.
Potrebno je pronaći integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Iz primjera možemo zaključiti:ne znaš riješiti neodređene integrale? Samo pronađite sve primitivce! Ali principi pretraživanja bit će razmotreni u nastavku.
Metode i primjeri
Da biste riješili integral, možete pribjeći sljedećim metodama:
- koristite pripremljenu tablicu;
- integriraj po dijelovima;
- integrirajte promjenom varijable;
- dovođenje pod znak diferencijala.
Stolovi
Najlakši i najugodniji način. Trenutno se matematička analiza može pohvaliti prilično opsežnim tablicama u kojima su upisane osnovne formule neodređenih integrala. Drugim riječima, postoje predlošci koji su razvijeni prije vas i za vas, ostaje samo da ih koristite. Ovdje je popis glavnih pozicija u tablici iz kojih možete izvesti gotovo svaki primjer koji ima rješenje:
- ∫0dy=C, gdje je C konstanta;
- ∫dy=y + C, gdje je C konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, gdje je C konstanta i n - nije jedan broj;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, gdje je C konstanta;
- ∫eydy=ey + C, gdje je C konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, gdje je C konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, gdje je C konstanta;
- ∫sinydy=-ugodan + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, gdje je C konstanta;
- ∫chydy=sramežljiv + C, gdje je C -konstanta;
- ∫shydy=chy + C, gdje je C konstanta.
Ako je potrebno, napravite nekoliko koraka, dovedite integrand u tablični oblik i uživajte u pobjedi. Primjer: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Prema rješenju, jasno je da za tablični primjer, integrandu nedostaje faktor 5. Zbrajamo ga, množimo ga s 1/5 paralelno kako se opći izraz ne bi promijenio.
Integracija po dijelovima
Razmotrimo dvije funkcije - z(y) i x(y). Moraju se kontinuirano razlikovati u cijeloj domeni definicije. Prema jednom od svojstava diferencijacije imamo: d(xz)=xdz + zdx. Integrirajući oba dijela jednadžbe, dobivamo: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Prepisivanjem rezultirajuće jednakosti dobivamo formulu koja opisuje metodu integracije po dijelovima: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Zašto je to potrebno? Poanta je da se neki primjeri mogu pojednostavniti, uvjetno rečeno, reducirati ∫zdx na ∫xdz ako je potonji blizu tabelarnog oblika. Također, ova formula se može primijeniti više puta, postižući optimalne rezultate.
Kako riješiti neodređene integrale na ovaj način:
treba izračunati ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
treba izračunati ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Zamjena varijable
Ovaj princip rješavanja neodređenih integrala nije ništa manje tražen od prethodna dva, iako je kompliciraniji. Metoda je sljedeća: neka je V(x) integral neke funkcije v(x). U slučaju da se sam integral u primjeru pojavi kao složen, postoji velika vjerojatnost da se zbunite i krenete krivim putem rješenja. Da bi se to izbjeglo, prakticira se prijelaz s varijable x na z, u kojem se opći izraz vizualno pojednostavljuje uz zadržavanje ovisnosti z o x.
Matematički to izgleda ovako: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), gdje je x=y(z) zamjena. I, naravno, inverzna funkcija z=y-1(x) u potpunosti opisuje ovisnost i odnos varijabli. Važna napomena - diferencijal dx je nužno zamijenjen novim diferencijalom dz, budući da zamjena varijable u neodređenom integralu podrazumijeva njezinu zamjenu svugdje, a ne samo u integrandu.
Primjer:
treba pronaći ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Primijenite zamjenu z=(s+1)/(s2+2s-5). Tada je dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Kao rezultat, dobivamo sljedeći izraz, koji je vrlo lako izračunati:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
treba pronaći integral∫2sesdx
Da bismo riješili, prepisujemo izraz u sljedećem obliku:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Označimo s a=2e (ovaj korak nije zamjena za argument, on je još uvijek s), dovodimo naš naizgled složen integral u elementarni tablični oblik:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Dovođenje ispod znaka diferencijala
Uglavnom, ova metoda neodređenih integrala je brat blizanac principa promjene varijable, ali postoje razlike u procesu dizajna. Pogledajmo pobliže.
Ako je ∫v(x)dx=V(x) + C i y=z(x), tada je ∫v(y)dy=V(y) + C.
U ovom slučaju ne treba zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima:
- dx=d(x + a), gdje je a bilo koja konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), gdje je a opet konstanta, ali nije jednaka nuli;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ako uzmemo u obzir opći slučaj kada izračunavamo neodređeni integral, primjeri se mogu zbrojiti pod općom formulom w'(x)dx=dw(x).
Primjeri:
treba pronaći ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online pomoć
U nekim slučajevima, čija je greška ili lijenost ili hitna potreba, možete koristiti online savjete, odnosno koristiti kalkulator neodređenog integrala. Unatoč svoj prividnoj složenosti i spornosti integrala, njihovo rješavanje podliježe određenom algoritmu, koji se temelji na principu "ako ne …, onda …".
Naravno, takav kalkulator neće svladati posebno zamršene primjere, jer postoje slučajevi u kojima se rješenje mora pronaći umjetno, "nasilno" uvođenjem određenih elemenata u proces, jer se rezultat ne može postići u očitom načine. Unatoč svim kontroverznostima ove tvrdnje, to je istina, budući da je matematika, u principu, apstraktna znanost, te kao svoju primarnu zadaću smatra potrebu za proširenjem granica mogućnosti. Doista, iznimno je teško napredovati i razvijati se prema glatkim, uhodanim teorijama, tako da ne biste trebali pretpostaviti da su primjeri rješavanja neodređenih integrala koje smo naveli visina mogućnosti. No, vratimo se na tehničku stranu stvari. Barem da provjerite izračune, možete koristiti usluge u kojima je sve bilo napisano prije nas. Ako postoji potreba za automatskim izračunom složenog izraza, onda ih se ne može izostaviti, morat ćete posegnuti za ozbiljnijim softverom. Vrijedno je obratiti pažnju prije svega na MatLab okruženje.
Prijava
Rješenje neodređenih integrala na prvi pogled izgleda potpuno izvan doticaja sa stvarnošću, jer je teško uočiti očita područja primjene. Doista, ne mogu se nigdje izravno koristiti, ali se smatraju nužnim međuelementom u procesu izvođenja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija je inverzna diferencijaciji, zbog čega aktivno sudjeluje u procesu rješavanja jednadžbi.
Zauzvrat, ove jednadžbe imaju izravan utjecaj na rješavanje mehaničkih problema, izračunavanje putanja i toplinske vodljivosti - ukratko, sve što čini sadašnjost i oblikuje budućnost. Neodređeni integral, čije smo primjere prethodno ispitali, trivijalan je samo na prvi pogled, budući da je osnova za sve više i više novih otkrića.
