Što je ovo - konus? Definicija, svojstva, formule i primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Konus je jedna od prostornih figura rotacije, čije se karakteristike i svojstva proučavaju stereometrijom. U ovom članku ćemo definirati ovu figuru i razmotriti osnovne formule koje povezuju linearne parametre stošca s njegovom površinom i volumenom.

Što je konus?

Sa gledišta geometrije, govorimo o prostornoj figuri, koju tvori skup ravnih segmenata koji spajaju određenu točku u prostoru sa svim točkama glatke ravne krivulje. Ova krivulja može biti kružnica ili elipsa. Slika ispod prikazuje konus.

Predstavljeni lik nema volumen, budući da zidovi njegove površine imaju beskonačno malu debljinu. Međutim, ako je ispunjena tvari i omeđena odozgo ne krivuljom, već ravnim likom, na primjer, krugom, tada ćemo dobiti čvrsto volumetrijsko tijelo, koje se također obično naziva konus.

Oblik stošca se često može naći u životu. Dakle, ima kornet za sladoled ili prugaste crne i narančaste češere koji se postavljaju na kolnik kako bi privukli pozornost sudionika u prometu.

Elementi stošca i njegove vrste

Budući da stožac nije poliedar, broj elemenata koji ga tvore nije tako velik kao za poliedre. U geometriji, opći stožac se sastoji od sljedećih elemenata:

• baza, čija se granična krivulja naziva direktrisa ili generatrisa;
• bočne plohe, koja je skup svih točaka pravih segmenata (generatrica) koje povezuju vrh i točke vodeće krivulje;
• vrh, koji je presjek generatrisa.

Imajte na umu da vrh ne smije ležati u ravnini baze, budući da se u ovom slučaju konus degenerira u ravan lik.

Ako nacrtamo okomit segment od vrha do baze, dobit ćemo visinu figure. Ako se posljednja baza siječe u geometrijskom središtu, onda je to ravan stožac. Ako se okomica ne poklapa s geometrijskim središtem baze, tada će lik biti nagnut.

Pravi i kosi konusi prikazani su na slici. Ovdje su visina i polumjer baze stošca označeni sa h odnosno r. Linija koja spaja vrh figure i geometrijsko središte baze je os stošca. Iz slike se vidi da za ravan lik visina leži na ovoj osi, a za nagnuti lik visina tvori kut s osi. Os stošca označena je slovom a.

Pravi konus s okruglom bazom

Možda je ovaj konus najčešći u razmatranoj klasi figura. Sastoji se od kruga i stranicepovršine. Nije ga teško dobiti geometrijskim metodama. Da biste to učinili, uzmite pravokutni trokut i zakrenite ga oko osi koja se podudara s jednom od nogu. Očito će ova noga postati visina figure, a duljina druge noge trokuta čini polumjer baze stošca. Dijagram ispod pokazuje opisanu shemu za dobivanje dotične brojke rotacije.

Opisani trokut se može rotirati oko druge noge, što će rezultirati konusom s većim polumjerom baze i nižom visinom od prvog.

Da bi se nedvosmisleno odredili svi parametri okruglog ravnog stošca, treba znati bilo koje dvije njegove linearne karakteristike. Među njima se razlikuje polumjer r, visina h ili duljina generatrike g. Sve ove veličine su duljine stranica razmatranog pravokutnog trokuta, stoga za njihovu povezanost vrijedi Pitagorin teorem:

g²=r²+ h^2.

Površina

Prilikom proučavanja površine bilo koje trodimenzionalne figure, prikladno je koristiti njezin razvoj na ravnini. Konus nije iznimka. Za okrugli konus, razvoj je prikazan ispod.

Vidimo da se rasplet figure sastoji od dva dijela:

1. Kružnica koja čini bazu stošca.
2. Sektor kruga, koji je konusna površina figure.

Površinu kruga je lako pronaći, a odgovarajuća formula je poznata svakom učeniku. Govoreći o kružnom sektoru, napominjemo da jedio je kružnice polumjera g (duljina generatrise stošca). Duljina luka ovog sektora jednaka je opsegu baze. Ovi parametri omogućuju nedvosmisleno određivanje njegovog područja. Odgovarajuća formula je:

S=pir2+ pirg.

Prvi i drugi izraz u izrazu su stožac baze i bočne površine površine, redom.

Ako je duljina generatora g nepoznata, ali je data visina h figure, tada se formula može prepisati kao:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Zapremina figure

Ako uzmemo ravnu piramidu i povećamo broj stranica njene baze u beskonačnosti, tada će oblik baze težiti kružnici, a bočna površina piramide će se približiti stožastoj površini. Ova razmatranja omogućuju nam da koristimo formulu za volumen piramide kada izračunamo sličnu vrijednost za stožac. Volumen stošca može se pronaći pomoću formule:

V=1/3hS_o.

Ova formula je uvijek istinita, bez obzira koja je baza stošca, s površinom S_{o. Štoviše, formula vrijedi i za kosi stožac.}

Budući da proučavamo svojstva ravne figure s okruglom bazom, možemo koristiti sljedeći izraz da odredimo njen volumen:

V=1/3hpir2.

Formula je očita.

Problem pronalaženja površine i volumena

Neka je dat konus čiji je polumjer 10 cm, a duljina generatriksa 20pogledajte Trebate odrediti volumen i površinu za ovaj oblik.

Za izračunavanje površine S možete odmah koristiti formulu napisanu gore. Imamo:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Da biste odredili volumen, trebate znati visinu h figure. Izračunavamo ga koristeći odnos između linearnih parametara stošca. Dobivamo:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Sada možete koristiti formulu za V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83 cm}3^.

Imajte na umu da je volumen okruglog stošca jedna trećina cilindra u koji je upisan.