Poliedri ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, već se pojavljuju i u svakodnevnom životu svake osobe. Da ne spominjemo umjetno stvorene kućanske predmete u obliku raznih poligona, počevši od kutije šibica i završavajući arhitektonskim elementima, kristalima u obliku kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (dijamant), itd. e.
Koncept poliedra, vrste poliedra u geometriji
Geometrija kao znanost sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih figura. Geometrijska tijela, čije su stranice u trodimenzionalnom prostoru oblikovane ograničenim ravninama (licama), nazivaju se "poliedri". Vrste poliedra uključuju više od desetak predstavnika, koji se razlikuju po broju i obliku lica.
Međutim, svi poliedri imaju zajednička svojstva:
- Svi imaju 3 bitne komponente: lice(površina poligona), vrh (uglovi nastali na spoju lica), rub (strana lika ili segment koji nastaje na spoju dvaju lica).
- Svaki rub poligona povezuje dvije i samo dvije strane koje su jedna uz drugu.
- Konveksnost znači da se tijelo u potpunosti nalazi samo na jednoj strani ravnine na kojoj leži jedno od lica. Pravilo vrijedi za sve strane poliedra. Takvi geometrijski likovi u stereometriji se nazivaju konveksni poliedri. Iznimka su poliedri u obliku zvijezde, koji su derivati pravilnih poliedarskih geometrijskih tijela.
Poliedri se mogu uvjetno podijeliti na:
- Vrste konveksnih poliedara, koji se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (također se zovu Platonova tijela), polupravilni (drugi naziv - Arhimedova tijela).
- Nekonveksni poliedri (u obliku zvijezde).
Prizma i njena svojstva
Stereometrija kao grana geometrije proučava svojstva trodimenzionalnih figura, vrste poliedara (prizma je jedna od njih). Prizma je geometrijsko tijelo koje nužno ima dvije apsolutno identične strane (one se također nazivaju bazama) koje leže u paralelnim ravninama i n-ti broj bočnih strana u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizma također ima nekoliko varijanti, uključujući takve vrste poliedara kao što su:
- Paralelepiped - nastaje ako je baza paralelogram -poligon s 2 para jednakih suprotnih kutova i 2 para sukladnih suprotnih strana.
- Prava prizma ima rubove okomite na bazu.
- Nagnutu prizmu karakterizira prisutnost nepravih kutova (osim 90) između lica i baze.
- Pravičnu prizmu karakteriziraju baze u obliku pravilnog poligona s jednakim bočnim stranama.
Osnovna svojstva prizme:
- kongruentne baze.
- Svi rubovi prizme su jednaki i međusobno paralelni.
- Sve bočne strane su u obliku paralelograma.
Piramida
Piramida je geometrijsko tijelo, koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trokutastih lica, povezanih u jednoj točki - vrhu. Treba napomenuti da ako su bočne strane piramide nužno predstavljene trokutima, tada baza može biti ili trokutasti poligon, ili četverokut, ili peterokut, i tako dalje do beskonačnosti. U ovom slučaju, naziv piramide odgovarat će poligonu u bazi. Na primjer, ako trokut leži u podnožju piramide, to je trokutna piramida, četverokut je četverokut, itd.
Piramide su poliedri u obliku stošca. Vrste poliedara ove skupine, osim gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:
- Pravilna piramida ima pravilan poligon u osnovi, a visina joj je projicirana u središtekrug upisan u bazu ili opisan oko nje.
- Pravokutna piramida nastaje kada se jedan od bočnih bridova siječe s bazom pod pravim kutom. U ovom slučaju, također je pošteno nazvati ovaj rub visinom piramide.
Svojstva piramide:
- Ako su svi bočni rubovi piramide podudarni (iste visine), tada se svi sijeku s bazom pod istim kutom, a oko baze možete nacrtati krug sa središtem koji se poklapa s projekcijom vrh piramide.
- Ako je osnova piramide pravilan poligon, tada su svi bočni bridovi podudarni, a lica su jednakokračni trokuti.
Pravilni poliedar: vrste i svojstva poliedara
U stereometriji posebno mjesto zauzimaju geometrijska tijela s apsolutno jednakim plohama, na čijim je vrhovima spojen isti broj bridova. Ta se tijela nazivaju Platonova tijela ili pravilni poliedri. Vrste poliedara s takvim svojstvima imaju samo pet oblika:
- Tetraedar.
- heksaedar.
- Octahedron.
- Dodekaedar.
- Ikosaedar.
Pravilni poliedri duguju svoje ime starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svojim spisima opisao ova geometrijska tijela i povezao ih s prirodnim elementima: zemljom, vodom, vatrom, zrakom. Petoj figuri dodijeljena je sličnost sa strukturom svemira. Prema njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata po obliku nalikuju tipovima pravilnih poliedara. Zbog svog najuzbudljivijeg svojstva -simetrije, ova geometrijska tijela bila su od velikog interesa ne samo za antičke matematičare i filozofe, već i za arhitekte, umjetnike i kipare svih vremena. Prisutnost samo 5 vrsta poliedara s apsolutnom simetrijom smatrala se temeljnim otkrićem, čak su dobili vezu s božanskim principom.
Heksaedar i njegova svojstva
U obliku šesterokuta, Platonovi su nasljednici pretpostavili sličnost sa strukturom atoma zemlje. Naravno, trenutno je ova hipoteza potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava figure da svojom estetikom privlače umove poznatih ličnosti u moderno doba.
U geometriji, heksaedar, također poznat kao kocka, smatra se posebnim slučajem paralelepipeda, koji je, pak, vrsta prizme. Sukladno tome, svojstva kocke su povezana sa svojstvima prizme, s jedinom razlikom što su sve strane i kutovi kocke međusobno jednaki. Iz ovoga slijede sljedeća svojstva:
- Svi rubovi kocke su sukladni i leže u paralelnim ravninama jedan u odnosu na drugi.
- Sva lica su kongruentni kvadrati (u kocki ih ima ukupno 6), od kojih se svako može uzeti kao baza.
- Svi kutovi sučelja su 90.
- Iz svakog vrha proizlazi jednak broj bridova, odnosno 3.
- Kocka ima 9 osi simetrije, koje se sve sijeku u točki presjeka dijagonala heksaedra, koja se naziva središte simetrije.
Tetraedar
Tetraedar je tetraedar jednakih strana u obliku trokuta, čiji je svaki vrhje spojna točka triju lica.
Svojstva pravilnog tetraedra:
- Sve strane tetraedra su jednakostranični trokuti, što znači da su sve strane tetraedra sukladne.
- Budući da je baza predstavljena pravilnim geometrijskim likom, odnosno ima jednake stranice, lica tetraedra konvergiraju pod istim kutom, odnosno svi kutovi su jednaki.
- Zbroj ravnih kutova u svakom od vrhova je 180, budući da su svi kutovi jednaki, tada je svaki kut pravilnog tetraedra 60.
- Svaki od vrhova projicira se na točku presjeka visina suprotne (ortocentrične) strane.
Oktaedar i njegova svojstva
Opisujući vrste pravilnih poliedara, ne može se ne primijetiti takav objekt kao što je oktaedar, koji se može vizualno predstaviti kao dvije četverokutne pravilne piramide zalijepljene bazama.
Svojstva oktaedra:
- Samo ime geometrijskog tijela sugerira broj njegovih lica. Oktaedar se sastoji od 8 podudarnih jednakostraničnih trokuta, u čijim se vrhovima konvergira jednak broj strana, odnosno 4.
- Budući da su sve strane oktaedra jednake, jednaki su i njegovi međuuglovi, od kojih je svaki jednak 60, a zbroj ravninskih kutova bilo kojeg vrha je 240.
Dodekaedar
Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela pravilan pentagon, onda ćemo dobiti dodekaedar -lik od 12 poligona.
Svojstva dodekaedra:
- Tri se lica sijeku na svakom vrhu.
- Sva lica su jednaka i imaju istu dužinu ruba i jednaku površinu.
- Dodekaedar ima 15 osi i ravnina simetrije, a svaka od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotnog ruba.
Ikosaedar
Ništa manje zanimljivo od dodekaedra, lik ikosaedra je trodimenzionalno geometrijsko tijelo s 20 jednakih lica. Među svojstvima pravilnog dvadesetedra mogu se primijetiti sljedeće:
- Sva lica ikosaedra su jednakokračni trokuti.
- Pet lica konvergiraju na svakom vrhu poliedra, a zbroj susjednih kutova vrha je 300.
- Ikosaedar, kao i dodekaedar, ima 15 osi i ravnina simetrije koje prolaze kroz sredine suprotnih strana.
Polupravilni poligoni
Osim Platonovih tijela, grupa konveksnih poliedara također uključuje Arhimedova tijela, koja su skraćeni pravilni poliedri. Tipovi poliedara ove grupe imaju sljedeća svojstva:
- Geometrijska tijela imaju u paru jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima 8 lica, poput pravilnog tetraedra, ali u slučaju arhimedovog tijela, 4 lica će biti trokutasta, a 4 će biti šesterokutna.
- Svi kutovi jednog vrha su sukladni.
Zvjezdasti poliedri
Predstavnici nevolumetrijskih tipova geometrijskih tijela su zvjezdani poliedri čija se lica međusobno sijeku. Mogu se formirati spajanjem dvaju uobičajenih 3D tijela ili proširenjem njihovih lica.
Dakle, takvi zvjezdani poliedri su poznati kao: zvjezdani oblici oktaedra, dodekaedra, ikosaedra, kuboktaedra, ikosododekaedra.
