Svaki učenik je čuo za okrugli stožac i zamišlja kako ova trodimenzionalna figura izgleda. Ovaj članak definira razvoj stošca, daje formule koje opisuju njegove karakteristike i opisuje kako ga konstruirati pomoću šestara, kutomjera i ravnala.
Kružni konus u geometriji
Dajmo geometrijsku definiciju ove figure. Okrugli stožac je površina koju čine ravni segmenti koji povezuju sve točke određene kružnice s jednom točkom u prostoru. Ova pojedinačna točka ne smije pripadati ravnini u kojoj leži kružnica. Ako uzmemo krug umjesto kruga, onda ova metoda također vodi do stošca.
Kružnica se zove baza figure, njen opseg je direktrisa. Segmenti koji spajaju točku s direktrisom nazivaju se generatrisi ili generatori, a točka u kojoj se sijeku je vrh stošca.
Okrugli konus može biti ravan i koso. Obje su brojke prikazane na donjoj slici.
Razlika između njih je sljedeća: ako okomica s vrha stošca pada točno na središte kruga, tada će stožac biti ravan. Za njega je okomica, koja se zove visina figure, dio njegove osi. U slučaju kosog stošca, visina i os tvore oštar kut.
Zbog jednostavnosti i simetrije figure, dalje ćemo razmatrati svojstva samo desnog stošca s okruglom bazom.
Dobivanje oblika pomoću rotacije
Prije nego nastavite s razmatranjem razvoja površine stošca, korisno je znati kako se ova prostorna figura može dobiti rotacijom.
Pretpostavimo da imamo pravokutni trokut sa stranicama a, b, c. Prve dvije od njih su noge, c je hipotenuza. Stavimo trokut na nogu a i počnimo ga rotirati oko noge b. Hipotenuza c će tada opisivati stožastu plohu. Ova jednostavna tehnika stošca prikazana je na donjem dijagramu.
Očito, krak a će biti polumjer baze figure, krak b će biti njegova visina, a hipotenuza c odgovara generatrisi okruglog desnog stošca.
Prikaz razvoja stošca
Kao što možete pogoditi, stožac se sastoji od dvije vrste površina. Jedan od njih je krug ravne baze. Pretpostavimo da ima polumjer r. Druga površina je bočna i naziva se konusna. Neka je njegov generator jednak g.
Ako imamo papirnati konus, onda možemo uzeti škare i odrezati bazu od njega. Zatim treba rezati stožastu površinuduž bilo koje generatrike i rasporediti je na ravninu. Na taj način smo dobili razvoj bočne površine stošca. Dvije površine, zajedno s izvornim konusom, prikazane su na donjem dijagramu.
Osnovni krug prikazan je dolje desno. U središtu je prikazana nerasklopljena stožasta površina. Ispada da odgovara nekom kružnom sektoru kružnice, čiji je polumjer jednak duljini generatrike g.
Pomicanje kuta i područja
Sada dobivamo formule koje nam, koristeći poznate parametre g i r, omogućuju izračunavanje površine i kuta stošca.
Očito, luk kružnog sektora prikazanog iznad na slici ima duljinu jednaku opsegu baze, to jest:
l=2pir.
Ako je izgrađen cijeli krug polumjera g, tada bi njegova duljina bila:
L=2pig.
Budući da duljina L odgovara radijanima 2pi, tada se kut na koji leži luk l može odrediti iz odgovarajuće proporcije:
L==>2pi;
l==> φ.
Tada će nepoznati kut φ biti jednak:
φ=2pil/L.
Zamjenom izraza za duljine l i L dolazimo do formule za kut razvoja bočne površine stošca:
φ=2pir/g.
Kut φ ovdje je izražen u radijanima.
Za određivanje površine Sb kružnog sektora, koristit ćemo pronađenu vrijednost φ. Radimo još jedan udio, samo za površine. Imamo:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Odakle izraziti Sb, a zatim zamijenite vrijednost kuta φ. Dobivamo:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Za područje stožaste površine dobili smo prilično kompaktnu formulu. Vrijednost Sb jednaka je umnošku tri faktora: pi, polumjer figure i njezina generatriksa.
Tada će površina cijele površine figure biti jednaka zbroju Sb i So (kružno osnovno područje). Dobivamo formulu:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Izgradnja konusa na papiru
Da biste izvršili ovaj zadatak, trebat će vam komad papira, olovka, kutomjer, ravnalo i šestar.
Prvo, nacrtajmo pravokutni trokut sa stranicama 3 cm, 4 cm i 5 cm. Njegovom rotacijom oko kraka od 3 cm dobit će se željeni stožac. Slika ima r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Izrada zamaha počet će crtanjem kruga polumjera r pomoću šestara. Njegova duljina bit će jednaka 6pi cm. Sada ćemo pored njega nacrtati još jedan krug, ali polumjera g. Njegova duljina će odgovarati 10pi cm. Sada moramo odrezati kružni sektor iz velikog kruga. Njegov kut φ je:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Sada odvajamo ovaj kut kutomjerom na kružnicu polumjera g i nacrtamo dva radijusa koji će ograničiti kružni sektor.
DakleDakle, izgradili smo razvoj stošca sa specificiranim parametrima radijusa, visine i generatriksa.
Primjer rješavanja geometrijskog problema
Dat je okrugli ravni stožac. Poznato je da je kut njegovog bočnog zamaha 120o. Potrebno je pronaći polumjer i generatricu ove figure, ako je poznato da je visina stošca h 10 cm.
Zadatak nije težak ako se sjetimo da je okrugli stožac lik rotacije pravokutnog trokuta. Iz ovog trokuta slijedi nedvosmislen odnos između visine, polumjera i generatriksa. Napišimo odgovarajuću formulu:
g2=h2+ r2.
Drugi izraz koji se koristi pri rješavanju je formula za kut φ:
φ=2pir/g.
Dakle, imamo dvije jednadžbe koje se odnose na dvije nepoznate veličine (r i g).
Izrazite g iz druge formule i zamijenite rezultat u prvu, dobivamo:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Kut φ=120o u radijanima je 2pi/3. Zamijenimo ovu vrijednost i dobijemo konačne formule za r i g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Ostaje zamijeniti vrijednost visine i dobiti odgovor na problem: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
