Kvantitativno proučavanje dinamike i kinematike rotacijskog gibanja zahtijeva poznavanje momenta inercije materijalne točke i krutog tijela u odnosu na os rotacije. U članku ćemo razmotriti o kojem parametru govorimo, a također ćemo dati formulu za njegovo određivanje.
Opći podaci o fizičkoj količini
Prvo, definirajmo moment tromosti materijalne točke i krutog tijela, a zatim pokažimo kako ga treba koristiti u rješavanju praktičnih problema.
Pod naznačenom fizičkom karakteristikom za točku mase m, koja rotira oko osi na udaljenosti r, podrazumijeva se sljedeća vrijednost:
I=mr².
Gdje slijedi da je mjerna jedinica proučavanog parametra kilogrami po kvadratnom metru (kgm²).
Ako se umjesto točke oko osi okreće tijelo složenog oblika, koje ima proizvoljnu raspodjelu mase unutar sebe, tada se određuje njegov moment inercijedakle:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Gdje je ρ gustoća tijela. Koristeći integralnu formulu, možete odrediti vrijednost I za apsolutno bilo koji sustav rotacije.
Moment inercije ima potpuno isto značenje za rotaciju kao masa za translacijsko gibanje. Na primjer, svi znaju da je krpu za pod najlakše rotirati oko osi koja prolazi kroz njegovu ručku nego kroz okomitu. To je zbog činjenice da je moment inercije u prvom slučaju mnogo manji nego u drugom.
I vrijednost za tijela različitih oblika
Prilikom rješavanja zadataka iz fizike za rotaciju, često je potrebno znati moment tromosti za tijelo određenog geometrijskog oblika, na primjer, za cilindar, loptu ili šipku. Primijenimo li gore napisanu formulu za I, onda je lako dobiti odgovarajući izraz za sva označena tijela. U nastavku su formule za neke od njih:
šip: I=1 / 12ML²;
cilindar: I=1 / 2MR²;
sfera: I=2 / 5MR².
Ovdje je dat I za os rotacije, koja prolazi kroz središte mase tijela. U slučaju cilindra, os je paralelna s generatorom figure. Trenutak inercije za druga geometrijska tijela i mogućnosti položaja osi rotacije mogu se pronaći u odgovarajućim tablicama. Imajte na umu da je za određivanje različitih figura dovoljno znati samo jedan geometrijski parametar i masu tijela.
Steinerov teorem i formula
Moment inercije se može odrediti ako se os rotacije nalazi na određenoj udaljenosti od tijela. Da biste to učinili, trebate znati duljinu ovog segmenta i vrijednost IO tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte njegove mase, a koja bi trebala biti paralelna s onom ispod obzir. Uspostavljanje veze između parametra IO i nepoznate vrijednosti I je fiksirano u Steinerovom teoremu. Trenutak inercije materijalne točke i krutog tijela matematički se zapisuje na sljedeći način:
I=IO+ Mh2.
Ovdje je M masa tijela, h je udaljenost od središta mase do osi rotacije, u odnosu na koju je potrebno izračunati I. Ovaj izraz lako možete dobiti sami ako koristite integralnu formulu za I i uzmite u obzir da su sve točke tijela na udaljenostima r=r0 + h.
Steinerov teorem uvelike pojednostavljuje definiciju I za mnoge praktične situacije. Na primjer, ako trebate pronaći I za štap duljine L i mase M u odnosu na os koja prolazi kroz njegov kraj, tada primjena Steinerovog teorema omogućuje vam da napišete:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Možete pogledati odgovarajuću tablicu i vidjeti da sadrži upravo ovu formulu za tanku šipku s osi rotacije na svom kraju.
Momentna jednadžba
U fizici rotacije postoji formula koja se zove jednadžba momenata. To izgleda ovako:
M=Iα.
Ovdje je M moment sile, α je kutno ubrzanje. Kao što vidite, moment tromosti materijalne točke i krutog tijela i moment sile su linearno povezani jedan s drugim. Vrijednost M određuje mogućnost da neka sila F stvori rotacijsko gibanje s ubrzanjem α u sustavu. Za izračunavanje M upotrijebite sljedeći jednostavan izraz:
M=Fd.
Gdje je d ramena momenta, koja je jednaka udaljenosti od vektora sile F do osi rotacije. Što je krak d manji, to će sila imati manju sposobnost da stvori rotaciju sustava.
Jednadžba momenata u svom je značenju u potpunosti u skladu s drugim Newtonovim zakonom. U ovom slučaju, ja igram ulogu inercijalne mase.
Primjer rješavanja problema
Zamislimo sustav koji je cilindar pričvršćen na okomitu os s bestežinskom horizontalnom šipkom. Poznato je da su os rotacije i glavna os cilindra međusobno paralelne, a razmak između njih je 30 cm. Masa cilindra je 1 kg, a polumjer mu je 5 cm. Sila od 10 N tangenta na putanju rotacije djeluje na lik čiji vektor prolazi kroz glavnu os cilindra. Potrebno je odrediti kutnu akceleraciju figure koju će ta sila uzrokovati.
Prvo, izračunajmo moment inercije I cilindra. Da biste to učinili, primijenite Steinerov teorem, imamo:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Prije korištenja jednadžbe trenutka, morateodrediti moment sile M. U ovom slučaju imamo:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Sada možete odrediti ubrzanje:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Izračunato kutno ubrzanje pokazuje da će se svake sekunde brzina cilindra povećati za 5,2 okretaja u sekundi.
