Steinerov teorem ili teorem paralelnih osi za izračunavanje momenta inercije

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

U matematičkom opisu rotacijskog gibanja važno je poznavati moment tromosti sustava u odnosu na os. U općem slučaju, postupak za pronalaženje ove veličine uključuje provedbu procesa integracije. Takozvani Steinerov teorem olakšava izračunavanje. Razmotrimo to detaljnije u članku.

Što je moment inercije?

Prije davanja formulacije Steinerova teorema, potrebno je pozabaviti se samim konceptom momenta tromosti. Pretpostavimo da postoji neko tijelo određene mase i proizvoljnog oblika. Ovo tijelo može biti ili materijalna točka ili bilo koji dvodimenzionalni ili trodimenzionalni objekt (šip, cilindar, lopta, itd.). Ako predmetni objekt čini kružno gibanje oko neke osi sa konstantnim kutnim ubrzanjem α, tada se može napisati sljedeća jednadžba:

M=Iα

Ovdje vrijednost M predstavlja ukupni moment sila, koji daje ubrzanje α cijelom sustavu. Koeficijent proporcionalnosti između njih - I, zove semoment inercije. Ova se fizička količina izračunava pomoću sljedeće opće formule:

I=∫_m (r²dm)

Ovdje je r udaljenost između elementa mase dm i osi rotacije. Ovaj izraz znači da je potrebno pronaći zbroj umnožaka kvadrata udaljenosti r² i elementarne mase dm. Odnosno, moment tromosti nije čista karakteristika tijela, što ga razlikuje od linearne tromosti. Ovisi o raspodjeli mase po objektu koji se rotira, kao i o udaljenosti do osi i o orijentaciji tijela u odnosu na nju. Na primjer, štap će imati drugačiji I ako se rotira oko središta mase i oko kraja.

Moment inercije i Steinerov teorem

Čuveni švicarski matematičar, Jakob Steiner, dokazao je teorem o paralelnim osovinama i momentu inercije, koji sada nosi njegovo ime. Ovaj teorem postulira da je moment tromosti za apsolutno svako kruto tijelo proizvoljne geometrije u odnosu na neku os rotacije jednak zbroju momenta tromosti oko osi koja siječe središte mase tijela i paralelna je s prvom, a umnožak tjelesne mase pomnožen kvadrata udaljenosti između tih osi. Matematički, ova formulacija je napisana na sljedeći način:

I_Z=I_O + ml²

I_Z i I_O - trenuci inercije oko Z-osi i O-osi paralelne s njom, koja prolazi kroz središte mase tijela, l - udaljenost između linija Z i O.

Teorem omogućuje, znajući vrijednost I_O, izračunavanjebilo koji drugi trenutak I_Z oko osi koja je paralelna s O.

Dokaz teorema

Formulu Steinerova teorema možete lako dobiti sami. Da biste to učinili, razmotrite proizvoljno tijelo na xy ravnini. Neka ishodište koordinata prolazi središtem mase ovog tijela. Izračunajmo moment tromosti I_O koji prolazi kroz ishodište okomito na ravninu xy. Budući da je udaljenost do bilo koje točke tijela izražena formulom r=√ (x² + y²), dobivamo integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Sada pomaknimo os paralelno duž x-osi za udaljenost l, na primjer, u pozitivnom smjeru, tada će izračun za novu os momenta inercije izgledati ovako:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Proširite cijeli kvadrat u zagradama i podijelite integrande, dobivamo:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Prvi od ovih pojmova je vrijednost I_O, treći pojam, nakon integracije, daje pojam l²m, a ovdje je drugi član nula. Nuliranje navedenog integrala je zbog činjenice da se uzima iz umnoška x i masenih elemenata dm, koji uprosjek daje nulu, budući da je središte mase u ishodištu. Kao rezultat, dobiva se formula Steinerova teorema.

Razmatrani slučaj na ravnini može se generalizirati na trodimenzionalno tijelo.

Provjera Steinerove formule na primjeru štapa

Dajmo jednostavan primjer da pokažemo kako koristiti gornji teorem.

Poznato je da je za štap duljine L i mase m, moment tromosti I_O (os prolazi kroz središte mase) jednak m L² /12, a trenutak I_Z (os prolazi kroz kraj šipke) jednak je mL 2^{/3. Provjerimo ove podatke Steinerovim teoremom. Budući da je udaljenost između dvije osovine L/2, tada dobivamo trenutak I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To jest, provjerili smo Steinerovu formulu i dobili istu vrijednost za I_Z kao u izvoru.

Slični izračuni se mogu izvesti za druga tijela (cilindar, kugla, disk), uz dobivanje potrebnih trenutaka inercije i bez izvođenja integracije.

Moment inercije i okomite osi

Razmatrani teorem se odnosi na paralelne osi. Za cjelovitost informacija također je korisno dati teorem za okomite osi. Formulira se na sljedeći način: za ravan objekt proizvoljnog oblika, moment tromosti oko osi okomite na njega bit će jednak zbroju dva momenta tromosti oko dva međusobno okomita i ležećih momenata.u ravnini objekta osi, pri čemu sve tri osi prolaze kroz istu točku. Matematički, ovo se piše na sljedeći način:

I_z=I_x + I_y

Ovdje su z, x, y tri međusobno okomite osi rotacije.

Bitna razlika između ovog i Steinerova teorema je u tome što je primjenjiv samo na ravne (dvodimenzionalne) čvrste objekte. Ipak, u praksi se široko koristi, mentalno rezanje tijela u zasebne slojeve, a zatim dodavanje dobivenih momenata inercije.