Poliedri su privlačili pažnju matematičara i znanstvenika još u antičko doba. Egipćani su gradili piramide. A Grci su proučavali "pravilne poliedre". Ponekad se nazivaju i Platonova tijela. "Tradicionalni poliedri" sastoje se od ravnih lica, ravnih rubova i vrhova. No, glavno je pitanje uvijek bilo koja pravila moraju ispunjavati ti odvojeni dijelovi, kao i koji dodatni globalni uvjeti moraju biti ispunjeni da bi se objekt kvalificirao kao poliedar. Odgovor na ovo pitanje bit će predstavljen u članku.
Problemi u definiciji
Od čega se sastoji ova brojka? Poliedar je zatvoreni čvrsti oblik koji ima ravne strane i ravne rubove. Stoga se prvi problem njegove definicije može nazvati upravo stranama figure. Nisu sva lica koja leže u ravninama uvijek znak poliedra. Uzmimo za primjer "trokutasti cilindar". Od čega se sastoji? Dio njegove površine tri u parukoje se sijeku okomite ravnine ne mogu se smatrati poligonima. Razlog je što nema vrhova. Površina takvog lika formirana je na temelju tri zrake koje se susreću u jednoj točki.
Još jedan problem - avioni. U slučaju "trokutastog cilindra" on leži u njihovim neograničenim dijelovima. Figura se smatra konveksnom ako se u njoj nalazi i segment koji povezuje bilo koje dvije točke u skupu. Predstavljamo jedno od njihovih važnih svojstava. Za konveksne skupove, skup točaka zajedničkih skupu je isti. Postoji još jedna vrsta figura. To su nekonveksni 2D poliedri koji imaju zareze ili rupe.
Oblici koji nisu poliedri
Ravan skup točaka može biti različit (na primjer, nekonveksan) i ne zadovoljava uobičajenu definiciju poliedra. Čak i kroz njega, ograničena je dijelovima linija. Linije konveksnog poliedra sastoje se od konveksnih likova. Međutim, ovaj pristup definiciji isključuje lik koji ide u beskonačnost. Primjer za to bi bile tri zrake koje se ne susreću u istoj točki. Ali u isto vrijeme, oni su povezani s vrhovima druge figure. Tradicionalno je za poliedar bilo važno da se sastoji od ravnih površina. Ali s vremenom se koncept proširio, što je dovelo do značajnog poboljšanja u razumijevanju izvorne "uže" klase poliedara, kao i do pojave nove, šire definicije.
Točno
Uvedimo još jednu definiciju. Pravilni poliedar je onaj u kojemu je svako lice podudarno regularnokonveksni poligoni, a svi vrhovi su "isti". To znači da svaki vrh ima isti broj pravilnih poligona. Koristite ovu definiciju. Tako možete pronaći pet pravilnih poliedara.
Prvi koraci do Eulerovog teorema za poliedre
Grci su znali za poligon, koji se danas zove pentagram. Ovaj bi se mnogokut mogao nazvati pravilnim jer su mu sve stranice jednake duljine. Postoji još jedna važna napomena. Kut između dvije uzastopne stranice uvijek je isti. Međutim, kada se nacrta u ravnini, ne definira konveksan skup, a stranice poliedra sijeku jedna drugu. Međutim, to nije uvijek bio slučaj. Matematičari su dugo razmatrali ideju o "nekonveksnim" pravilnim poliedrima. Pentagram je bio jedan od njih. Dopušteni su bili i "zvjezdani poligoni". Otkriveno je nekoliko novih primjera "pravilnih poliedara". Sada se zovu Kepler-Poinsot poliedri. Kasnije su G. S. M. Coxeter i Branko Grünbaum proširili pravila i otkrili druge "pravilne poliedre".
Poliedarska formula
Sustavno proučavanje ovih brojki počelo je relativno rano u povijesti matematike. Leonhard Euler je prvi primijetio da formula koja se odnosi na broj njihovih vrhova, strana i bridova vrijedi za konveksne 3D poliedre.
Ona izgleda ovako:
V + F - E=2, gdje je V broj poliedarskih vrhova, F je broj bridova poliedra, a E broj strana.
Leonhard Euler je Švicaracmatematičar koji se smatra jednim od najvećih i najproduktivnijih znanstvenika svih vremena. Veći dio života bio je slijep, ali gubitak vida dao mu je razlog da postane još produktivniji. Postoji nekoliko formula nazvanih po njemu, a ova koju smo upravo pogledali ponekad se naziva formula Eulerovog poliedra.
Postoji jedno pojašnjenje. Eulerova formula, međutim, radi samo za poliedre koji slijede određena pravila. Oni leže u činjenici da oblik ne bi trebao imati rupe. I neprihvatljivo je da se prekriži. Poliedar također ne može biti sastavljen od dva dijela spojena zajedno, kao što su dvije kocke s istim vrhom. Rezultat svog istraživanja Euler je spomenuo u pismu Christianu Goldbachu 1750. godine. Kasnije je objavio dva rada u kojima je opisao kako je pokušao pronaći dokaz za svoje novo otkriće. Zapravo, postoje oblici koji daju drugačiji odgovor na V + F - E. Odgovor na zbroj F + V - E=X naziva se Eulerova karakteristika. Ona ima još jedan aspekt. Neki oblici mogu čak imati Eulerovu karakteristiku koja je negativna
Teorija grafova
Ponekad se tvrdi da je Descartes ranije izveo Eulerov teorem. Iako je ovaj znanstvenik otkrio činjenice o trodimenzionalnim poliedrima koje bi mu omogućile da izvede željenu formulu, nije poduzeo ovaj dodatni korak. Danas se Euleru pripisuje "otac" teorije grafova. Svojim idejama riješio je problem mosta u Konigsbergu. Ali znanstvenik nije promatrao poliedar u kontekstuteorija grafova. Euler je pokušao dati dokaz formule koja se temelji na rastavljanju poliedra na jednostavnije dijelove. Ovaj pokušaj ne zadovoljava suvremene standarde za dokaz. Iako Euler nije dao prvo ispravno opravdanje za svoju formulu, ne mogu se dokazati pretpostavke koje nisu iznesene. Međutim, rezultati, koji su kasnije potkrijepljeni, omogućuju korištenje Eulerovog teorema i u današnje vrijeme. Prvi dokaz dobio je matematičar Adrian Marie Legendre.
Dokaz Eulerove formule
Euler je prvi formulirao poliedarsku formulu kao teorem o poliedrima. Danas se često tretira u općenitijem kontekstu povezanih grafova. Na primjer, kao strukture koje se sastoje od točaka i odsječaka koji ih povezuju, a koji su u istom dijelu. Augustin Louis Cauchy bio je prva osoba koja je pronašla ovu važnu vezu. Služio je kao dokaz Eulerovog teorema. On je, u biti, primijetio da je graf konveksnog poliedra (ili onoga što se danas naziva takvim) topološki homeomorfan sferi, ima planarno povezan graf. Što je? Planarni graf je onaj koji je nacrtan u ravnini na način da mu se bridovi sastaju ili sijeku samo u vrhu. Ovdje je pronađena veza između Eulerovog teorema i grafova.
Jedan pokazatelj važnosti rezultata je da je David Epstein uspio prikupiti sedamnaest različitih dokaza. Postoji mnogo načina da se opravda Eulerova poliedarska formula. U određenom smislu, najočitiji dokazi su metode koje koriste matematičku indukciju. Rezultat se može dokazaticrtajući ga duž broja rubova, lica ili vrhova grafa.
Dokaz Rademachera i Toeplitza
Posebno atraktivan je sljedeći dokaz Rademachera i Toeplitza, koji se temelji na pristupu Von Staudta. Da bismo opravdali Eulerov teorem, pretpostavimo da je G povezani graf ugrađen u ravninu. Ako ima sheme, moguće je isključiti jedan rub iz svake od njih na način da se sačuva svojstvo da ostane povezan. Postoji korespondencija jedan-na-jedan između uklonjenih dijelova za odlazak na povezani graf bez zatvaranja i onih koji nisu beskonačni rub. Ovo istraživanje dovelo je do klasifikacije "površina koje se mogu orijentirati" u smislu takozvane Eulerove karakteristike.
jordanska krivulja. Teorem
Glavna teza, koja se izravno ili neizravno koristi u dokazu formule poliedara Eulerovog teorema za grafove, ovisi o Jordanovoj krivulji. Ova ideja je povezana s generalizacijom. Kaže da svaka jednostavna zatvorena krivulja dijeli ravninu u tri skupa: točke na njoj, unutar i izvan nje. Kako se u devetnaestom stoljeću razvilo zanimanje za Eulerovu poliedarsku formulu, bilo je mnogo pokušaja da se ona generalizira. Ovo istraživanje je postavilo temelje za razvoj algebarske topologije i povezalo je s algebrom i teorijom brojeva.
Moebius grupa
Ubrzo je otkriveno da se neke površine mogu "orijentirati" samo na dosljedan način lokalno, a ne globalno. Kao ilustracija toga služi poznata Möbiusova grupapovršine. Nešto ranije otkrio ju je Johann Listing. Ovaj koncept uključuje pojam roda grafa: najmanji broj deskriptora g. Mora se dodati površini kugle, a može se ugraditi na proširenu površinu na način da se bridovi sastaju samo na vrhovima. Ispostavilo se da se svaka orijentacijska površina u euklidskom prostoru može smatrati kuglom s određenim brojem ručki.
Eulerov dijagram
Znanstvenik je napravio još jedno otkriće, koje se i danas koristi. Ovaj takozvani Eulerov dijagram grafički je prikaz krugova, koji se obično koristi za ilustraciju odnosa između skupova ili grupa. Karte obično uključuju boje koje se miješaju u područjima gdje se krugovi preklapaju. Skupovi su predstavljeni upravo krugovima ili ovalima, iako se za njih mogu koristiti i druge figure. Uključenje je predstavljeno preklapanjem elipsa zvanih Eulerovi krugovi.
Oni predstavljaju skupove i podskupove. Iznimka su krugovi koji se ne preklapaju. Eulerovi dijagrami usko su povezani s drugim grafičkim prikazima. Često su zbunjeni. Ovaj grafički prikaz naziva se Vennovi dijagrami. Ovisno o dotičnim setovima, obje verzije mogu izgledati isto. Međutim, u Vennovim dijagramima, krugovi koji se preklapaju ne označavaju nužno zajedništvo između skupova, već samo mogući logički odnos ako njihove oznake nisu ukružnica koja se siječe. Obje opcije su usvojene za poučavanje teorije skupova kao dio novog matematičkog pokreta 1960-ih.
Fermatove i Eulerove teoreme
Euler je ostavio primjetan trag u matematičkoj znanosti. Algebarska teorija brojeva obogaćena je teoremom nazvanom po njemu. To je također posljedica još jednog važnog otkrića. Ovo je takozvani opći algebarski Lagrangeov teorem. Eulerovo ime također je povezano s Fermatovim malim teoremom. Kaže da ako je p prost broj, a a cijeli broj koji nije djeljiv s p, tada:
ap-1 - 1 je djeljivo s p.
Ponekad isto otkriće ima drugačiji naziv, najčešće se nalazi u stranoj literaturi. Zvuči kao Fermatova božićna teorema. Stvar je u tome da je otkriće postalo poznato zahvaljujući pismu znanstvenika poslanom uoči 25. prosinca 1640. godine. Ali sama izjava već se susrela. Koristio ga je drugi znanstvenik po imenu Albert Girard. Fermat je samo pokušao dokazati svoju teoriju. Autor u drugom pismu nagovještava da je bio inspiriran metodom beskonačnog spuštanja. Ali nije pružio nikakve dokaze. Kasnije se i Eider okrenuo istoj metodi. A nakon njega - mnogi drugi poznati znanstvenici, uključujući Lagrangea, Gaussa i Minkoskyja.
Obilježja identiteta
Fermatov mali teorem se također naziva posebnim slučajem teorema iz teorije brojeva zbog Eulera. U ovoj teoriji, Eulerova funkcija identiteta broji pozitivne cijele brojeve do zadanog cijelog broja n. Oni su koprimarni u odnosu nan. Eulerov teorem u teoriji brojeva napisan je grčkim slovom φ i izgleda kao φ(n). Može se formalnije definirati kao broj cijelih brojeva k u rasponu 1 ≦ k ≦ n za koji je najveći zajednički djelitelj gcd(n, k) 1. Oznaka φ(n) također se može nazvati Eulerovom phi funkcijom. Cijeli brojevi k ovog oblika ponekad se nazivaju ukupnim. U središtu teorije brojeva, Eulerova funkcija identiteta je multiplikativna, što znači da ako su dva broja m i n međusobno prosta, onda je φ(mn)=φ(m)φ(n). Također igra ključnu ulogu u definiranju RSA enkripcijskog sustava.
Eulerova funkcija uvedena je 1763. Međutim, u to vrijeme matematičar za nju nije odabrao nikakav specifičan simbol. U publikaciji iz 1784. Euler je detaljnije proučavao ovu funkciju i odabrao grčko slovo π da je predstavlja. James Sylvester skovao je izraz "ukupno" za ovu značajku. Stoga se također naziva Eulerov zbroj. Ukupni φ(n) pozitivnog cijelog broja n većeg od 1 je broj pozitivnih cijelih brojeva manjih od n koji su relativno prosti do n. φ(1) definiran je kao 1. Eulerova funkcija ili phi(φ) funkcija je vrlo važna teoretska funkcija, funkcija duboko povezana s prostim brojevima i takozvanim redoslijedom cijelih brojeva.
