Leonhard Euler (1707-1783) - poznati švicarski i ruski matematičar, član Sankt Peterburgske akademije znanosti, veći dio života proživio je u Rusiji. Najpoznatiji u matematičkoj analizi, statistici, informatici i logici je Eulerov krug (Euler-Venn dijagram), koji se koristi za označavanje opsega pojmova i skupova elemenata.
John Venn (1834-1923) - engleski filozof i logičar, koautor Euler-Venn dijagrama.
Kompatibilni i nekompatibilni koncepti
Pod pojmom u logici podrazumijeva se oblik mišljenja koji odražava bitne značajke klase homogenih objekata. Označavaju se jednom ili grupom riječi: "karta svijeta", "dominantni kvinta-sedmint akord", "ponedjeljak" itd.
U slučaju kada elementi opsega jednog pojma u potpunosti ili djelomično pripadaju opsegu drugog, govori se o kompatibilnim pojmovima. Ako, međutim, nijedan element opsega određenog koncepta ne pripada opsegu drugog, imamo nekompatibilne koncepte.
Zauzvrat, svaka vrsta koncepta ima svoj vlastiti skup mogućih odnosa. Za kompatibilne koncepte, to su:
- identitet (ekvivalentnost) volumena;
- prijelaz (djelomično podudaranje)svezaci;
- subordinacija (subordinacija).
Za nekompatibilno:
- subordinacija (koordinacija);
- suprotno (kontraralnost);
- kontradikcija (kontradikcija).
Šematski, odnosi između pojmova u logici obično se označavaju Euler-Vennovim krugovima.
Ekvivalentni odnosi
U ovom slučaju pojmovi znače isti predmet. Sukladno tome, volumeni ovih koncepata potpuno su isti. Na primjer:
A - Sigmund Freud;
B je utemeljitelj psihoanalize.
Ili:
A je kvadrat;
B je jednakostranični pravokutnik;
C je jednakokutni romb.
Za označavanje se koriste potpuno podudarni Eulerovi krugovi.
Raskrižje (djelomično podudaranje)
Ova kategorija uključuje koncepte koji imaju zajedničke elemente koji se odnose na križanje. To jest, volumen jednog od koncepata djelomično je uključen u volumen drugog:
A - učitelj;
B je ljubitelj glazbe.
Kao što se može vidjeti iz ovog primjera, količine pojmova se djelomično podudaraju: određena skupina učitelja može se pokazati kao ljubitelji glazbe, i obrnuto - među ljubiteljima glazbe mogu biti i predstavnici učiteljske profesije. Sličan stav bit će i u slučaju kada je koncept A, na primjer, “građanin”, a B “vozač”.
Subordinacija (subordinacija)
Šematski označeno kao Eulerovi krugovi različitih mjerila. Odnosiizmeđu pojmova u ovom slučaju karakterizira činjenica da je podređeni pojam (manji po volumenu) potpuno uključen u podređeni (veći po volumenu). U isto vrijeme, podređeni koncept ne iscrpljuje u potpunosti podređeni.
Na primjer:
A - stablo;
B - bor.
Koncept B bit će podređen konceptu A. Budući da bor pripada drveću, koncept A u ovom primjeru postaje podređen, "apsorbirajući" opseg koncepta B.
Koordinacija (koordinacija)
Odnos karakterizira dva ili više pojmova koji se međusobno isključuju, ali pripadaju određenom zajedničkom generičkom krugu. Na primjer:
A – klarinet;
B - gitara;
C - violina;
D je glazbeni instrument.
Pojmovi A, B, C se međusobno ne sijeku, ali svi pripadaju kategoriji glazbenih instrumenata (pojam D).
Suprotno (suprotno)
Suprotni odnosi između pojmova impliciraju da ti koncepti pripadaju istom rodu. Pritom, jedan od koncepata ima određena svojstva (obilježja), dok ih drugi poriče, zamjenjujući ih suprotnim u prirodi. Dakle, imamo posla s antonimima. Na primjer:
A je patuljak;
B je div.
Eulerov krug sa suprotnim odnosima između pojmovapodijeljen je u tri segmenta, od kojih prvi odgovara konceptu A, drugi konceptu B, a treći svim ostalim mogućim konceptima.
Protivrječnost (kontradikcija)
U ovom slučaju, oba koncepta su vrste istog roda. Kao i u prethodnom primjeru, jedan od pojmova ukazuje na određene kvalitete (obilježja), dok ih drugi negira. No, za razliku od odnosa suprotnosti, drugi, suprotni koncept ne zamjenjuje zanijekana svojstva drugim, alternativnim. Na primjer:
A je težak zadatak;
B je lak zadatak (ne-A).
Izražavajući obim pojmova ove vrste, Eulerov krug je podijeljen na dva dijela - treća, srednja karika u ovom slučaju ne postoji. Dakle, pojmovi su također antonimi. Istovremeno, jedan od njih (A) postaje pozitivan (potvrđujući neku osobinu), a drugi (B ili ne-A) postaje negativan (negirajući odgovarajuću značajku): "bijeli papir" - "ne bijeli papir", " nacionalna povijest” – “strana povijest” itd.
Dakle, omjer volumena koncepata u odnosu jedan na drugi ključna je karakteristika koja definira Eulerove krugove.
Odnosi između skupova
Također je potrebno razlikovati pojmove elemenata i skupova, čiji je volumen prikazan Eulerovim krugovima. Pojam skupa posuđen je iz matematičke znanosti i ima prilično široko značenje. Primjeri u logici i matematici ga prikazuju kao određeni skup objekata. Sami objekti suelemenata ovog skupa. "Mnogi su mnogi mislili kao jedno" (Georg Kantor, utemeljitelj teorije skupova).
Skupovi se označavaju velikim slovima: A, B, C, D… itd., elementi skupova se označavaju malim slovima: a, b, c, d… itd. Primjeri skupa mogu biti učenici koji nalaze se u jednoj učionici, knjige na određenoj polici (ili, na primjer, sve knjige u određenoj knjižnici), stranice u dnevniku, bobice na šumskoj čistini, itd.
Zauzvrat, ako određeni skup ne sadrži niti jedan element, tada se naziva praznim i označava znakom Ø. Na primjer, skup točaka presjeka paralelnih pravaca, skup rješenja jednadžbe x2=-5.
Rješavanje problema
Eulerovi krugovi se aktivno koriste za rješavanje velikog broja problema. Primjeri u logici jasno pokazuju vezu između logičkih operacija i teorije skupova. U ovom slučaju koriste se tablice istinitosti pojmova. Na primjer, krug s oznakom A predstavlja područje istine. Dakle, područje izvan kruga predstavljat će lažno. Da biste odredili područje dijagrama za logičku operaciju, trebali biste zasjeniti područja koja definiraju Eulerov krug, u kojem će njegove vrijednosti za elemente A i B biti istinite.
Upotreba Eulerovih krugova našla je široku praktičnu primjenu u raznim industrijama. Na primjer, u situaciji s profesionalnim izborom. Ako je ispitanik zabrinut oko izbora budućeg zanimanja, može se voditi sljedećim kriterijima:
W – što volim raditi?
D – što ja radim?
P– kako mogu dobro zaraditi?
Nacrtajmo ovo kao dijagram: Eulerovi krugovi (primjeri u logici - relacija presjeka):
Rezultat će biti one profesije koje će biti na sjecištu sva tri kruga.
Euler-Venn krugovi zauzimaju posebno mjesto u matematici (teoriji skupova) kada se računaju kombinacije i svojstva. Eulerovi krugovi skupa elemenata zatvoreni su u sliku pravokutnika koji označava univerzalni skup (U). Umjesto krugova mogu se koristiti i druge zatvorene figure, ali bit se toga ne mijenja. Slike se sijeku jedna s drugom, prema uvjetima problema (u najopćenitijem slučaju). Također, ove brojke trebaju biti označene na odgovarajući način. Elementi skupova koji se razmatraju mogu biti točke smještene unutar različitih segmenata dijagrama. Na temelju toga možete zasjeniti određena područja, označavajući tako novoformirane setove.
S ovim skupovima moguće je izvoditi osnovne matematičke operacije: zbrajanje (zbroj skupova elemenata), oduzimanje (razlika), množenje (produkt). Osim toga, zahvaljujući Euler-Venn dijagramima, moguće je usporediti skupove po broju elemenata koji su u njima uključeni, ne računajući ih.
