Linija i ravnina su dva najvažnija geometrijska elementa koji se mogu koristiti za konstruiranje različitih oblika u 2D i 3D prostoru. Razmislite kako pronaći udaljenost između paralelnih pravaca i paralelnih ravnina.
Matematički zadatak ravna linija
Iz školskog kolegija geometrije poznato je da se u dvodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu linija može navesti u sljedećem obliku:
y=kx + b.
Gdje su k i b brojevi (parametri). Pisani oblik predstavljanja pravca u ravnini je ravnina koja je paralelna s osi z u trodimenzionalnom prostoru. S obzirom na to, u ovom članku, za matematičko dodjeljivanje ravne linije, koristit ćemo prikladniji i univerzalniji oblik - vektorski.
Pretpostavimo da je naš pravac paralelan s nekim vektorom u¯(a, b, c) i prolazi kroz točku P(x0, y0, z0). U ovom slučaju, u vektorskom obliku, njegova će jednadžba biti predstavljena na sljedeći način:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Ovdje λ je bilo koji broj. Ako eksplicitno predstavimo koordinate proširenjem zapisanog izraza, tada ćemo dobiti parametarski oblik pisanja ravne linije.
Pogodno je raditi s vektorskom jednadžbom pri rješavanju raznih zadataka u kojima je potrebno odrediti razmak između paralelnih pravaca.
Linije i udaljenost između njih
Ima smisla govoriti o udaljenosti između linija samo kada su paralelne (u trodimenzionalnom slučaju postoji i razmak između kosih linija koji nije nula). Ako se linije sijeku, onda je očito da su na nultoj udaljenosti jedna od druge.
Udaljenost između paralelnih pravaca je duljina okomice koja ih povezuje. Da biste odredili ovaj pokazatelj, dovoljno je odabrati proizvoljnu točku na jednoj od linija i ispustiti okomicu s nje na drugu.
Opišimo ukratko postupak za pronalaženje željene udaljenosti. Pretpostavimo da znamo vektorske jednadžbe dvaju linija koje su predstavljene u sljedećem općem obliku:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Na ovim linijama konstruirajte paralelogram tako da jedna strana bude PQ, a druga, na primjer, u. Očito je visina ove figure, povučena iz točke P, duljina tražene okomice. Da biste ga pronašli, možete primijeniti sljedeće jednostavneformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Budući da je udaljenost između pravih duljina okomitog segmenta između njih, onda je prema napisanom izrazu dovoljno pronaći modul vektorskog umnoška PQ¯ i u¯ i rezultat podijeliti s duljina vektora u¯.
Primjer zadatka za određivanje udaljenosti između ravnih linija
Dvije ravne linije dane su sljedećim vektorskim jednadžbama:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Iz napisanih izraza jasno je da imamo dvije paralelne linije. Doista, ako pomnožimo s -1 koordinate vektora smjera prve linije, dobivamo koordinate vektora smjera druge linije, što ukazuje na njihov paralelizam.
Razmak između ravnih linija izračunat će se pomoću formule napisane u prethodnom odlomku članka. Imamo:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Onda dobivamo:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Napominjemo da umjesto točaka P i Q, apsolutno sve točke koje pripadaju ovim linijama mogu se koristiti za rješavanje problema. U ovom slučaju, dobili bismo istu udaljenost d.
Postavljanje ravnine u geometriji
Pitanje udaljenosti između redova je gore detaljno razmotreno. Sada ćemo pokazati kako pronaći udaljenost između paralelnih ravnina.
Svatko predstavlja ono što je avion. Prema matematičkoj definiciji, navedeni geometrijski element je skup točaka. Štoviše, ako sastavite sve moguće vektore koristeći te točke, onda će svi oni biti okomiti na jedan jedini vektor. Potonje se obično naziva normalom na ravninu.
Za određivanje jednadžbe ravnine u trodimenzionalnom prostoru najčešće se koristi opći oblik jednadžbe. To izgleda ovako:
Ax + By + Cz + D=0.
Gdje su velika latinična slova neki brojevi. Prikladno je koristiti ovakvu jednadžbu ravnine jer su u njoj eksplicitno dane koordinate vektora normale. Oni su A, B, C.
Lako je vidjeti da su dvije ravnine paralelne samo kada su njihove normale paralelne.
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne ravnine ?
Da biste odredili navedenu udaljenost, trebali biste jasno razumjeti što je u pitanju. Udaljenost između ravnina koje su međusobno paralelne podrazumijeva se kao duljina segmenta okomitog na njih. Krajevi ovog segmenta pripadaju ravninama.
Algoritam za rješavanje takvih problema je jednostavan. Da biste to učinili, morate pronaći koordinate apsolutno bilo koje točke koja pripada jednoj od dvije ravnine. Zatim biste trebali koristiti ovu formulu:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Budući da je udaljenost pozitivna vrijednost, znak modula je u brojniku. Napisana formula je univerzalna, jer vam omogućuje izračunavanje udaljenosti od ravnine do apsolutno bilo kojeg geometrijskog elementa. Dovoljno je znati koordinate jedne točke ovog elementa.
Radi potpunosti, napominjemo da ako normale dviju ravnina nisu jedna drugoj paralelne, tada će se takve ravnine sijeći. Udaljenost između njih tada će biti nula.
Problem određivanja udaljenosti između ravnina
Poznato je da su dvije ravnine dane sljedećim izrazima:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Potrebno je dokazati da su ravnine paralelne, kao i odrediti udaljenost između njih.
Da biste odgovorili na prvi dio problema, trebate prvu jednadžbu dovesti u opći oblik. Imajte na umu da je dan u takozvanom obliku jednadžbe u segmentima. Pomnožite njegove lijevi i desni dio sa 15 i premjestite sve članove na jednu stranu jednadžbe, dobit ćemo:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Napišimo koordinate dvaju normalnih vektora ravnina:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Može se vidjeti da ako se n2¯ pomnoži s 5, tada ćemo točno dobiti koordinate n1¯. Dakle, razmatrane ravnine suparalelno.
Da biste izračunali udaljenost između paralelnih ravnina, odaberite proizvoljnu točku prve od njih i upotrijebite gornju formulu. Na primjer, uzmimo točku (0, 0, 1) koja pripada prvoj ravnini. Tada dobivamo:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Željena udaljenost je 31 mm.
Udaljenost između ravnine i linije
Pruženo teorijsko znanje također nam omogućuje da riješimo problem određivanja udaljenosti između ravne crte i ravnine. Već je gore spomenuto da je formula koja vrijedi za izračune između ravnina univerzalna. Također se može koristiti za rješavanje problema. Da biste to učinili, samo odaberite bilo koju točku koja pripada danoj liniji.
Glavni problem u određivanju udaljenosti između razmatranih geometrijskih elemenata je dokaz njihovog paralelizma (ako nije, onda je d=0). Paralelizam je lako dokazati ako izračunate skalarni proizvod normale i vektora smjera za pravac. Ako su elementi koji se razmatraju paralelni, tada će ovaj proizvod biti jednak nuli.
