Tipičan geometrijski problem je pronalaženje kuta između linija. Na ravnini, ako su poznate jednadžbe pravaca, mogu se nacrtati i kut izmjeriti kutomjerom. Međutim, ova metoda je naporna i nije uvijek moguća. Da biste saznali imenovani kut, nije potrebno crtati ravne linije, može se izračunati. Ovaj članak će odgovoriti kako se to radi.
Prava crta i njena vektorska jednadžba
Svaka ravna linija može se predstaviti kao vektor koji počinje na -∞ i završava na +∞. U ovom slučaju vektor prolazi kroz neku točku u prostoru. Dakle, svi vektori koji se mogu povući između bilo koje dvije točke na ravnoj liniji bit će međusobno paralelni. Ova definicija omogućuje postavljanje jednadžbe ravne linije u vektorskom obliku:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ovdje, vektor s koordinatama (a; b; c) je vodič za ovu liniju koja prolazi kroz točku (x0; y0; z0). Parametar α omogućuje prijenos navedene točke na bilo koju drugu za ovu liniju. Ova je jednadžba intuitivna i laka za rad u 3D prostoru i na ravnini. Za ravninu, neće sadržavati z koordinate i vektorsku komponentu trećeg smjera.
Pogodnost izvođenja proračuna i proučavanja relativnog položaja ravnih linija zbog upotrebe vektorske jednadžbe je zbog činjenice da je poznat njezin usmjeravajući vektor. Njegove koordinate se koriste za izračunavanje kuta između linija i udaljenosti između njih.
Opća jednadžba za ravnu liniju
Napišimo eksplicitno vektorsku jednadžbu ravne linije za dvodimenzionalni slučaj. Izgleda ovako:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Sada izračunavamo parametar α za svaku jednakost i izjednačavamo prave dijelove dobivenih jednakosti:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Otvarajući zagrade i prebacujući sve pojmove na jednu stranu jednakosti, dobivamo:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, gdje je A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Rezultirajući izraz naziva se opća jednadžba za ravnu liniju danu u dvodimenzionalnom prostoru (u trodimenzionalnom ova jednadžba odgovara ravnini paralelnoj z-osi, a ne ravnoj liniji).
Ako u ovom izrazu eksplicitno zapišemo y kroz x, tada ćemo dobiti sljedeći oblik, poznatsvaki učenik:
y=kx + p, gdje je k=-A/B, p=-C/B
Ova linearna jednadžba jedinstveno definira ravnu liniju na ravnini. Vrlo ga je lako nacrtati prema poznatoj jednadžbi, za to trebate redom staviti x=0 i y=0, označiti odgovarajuće točke u koordinatnom sustavu i nacrtati ravnu liniju koja povezuje dobivene točke.
Formula kuta između linija
Na ravnini se dva pravca mogu ili sijeći ili biti paralelna jedna s drugom. U prostoru se ovim opcijama dodaje mogućnost postojanja kosih linija. Koja god verzija relativnog položaja ovih jednodimenzionalnih geometrijskih objekata implementirana, kut između njih uvijek se može odrediti sljedećom formulom:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Gdje su v1¯ i v2¯ vodeći vektori za redak 1 i 2 redom. Brojnik je modul točkastog proizvoda kako bi se isključili tupi kutovi i uzeli u obzir samo oštri.
Vektori v1¯ i v2¯ mogu se dati s dvije ili tri koordinate, dok je formula za kut φ ostaje nepromijenjen.
Paralelizam i okomitost pravaca
Ako je kut između 2 pravca izračunate korištenjem gornje formule 0o, onda se kaže da su paralelne. Da biste utvrdili jesu li linije paralelne ili ne, ne možete izračunati kutφ, dovoljno je pokazati da se jedan vektor smjera može predstaviti kroz sličan vektor drugog pravca, to jest:
v1¯=qv2¯
Ovdje q je pravi broj.
Ako su jednadžbe pravaca dane kao:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
onda će biti paralelni samo kada su koeficijenti od x jednaki, to jest:
k1=k2
Ova se činjenica može dokazati ako uzmemo u obzir kako se koeficijent k izražava u koordinatama usmjeravajućeg vektora ravne linije.
Ako je kut presjeka između linija 90o, tada se oni nazivaju okomiti. Za određivanje okomitosti pravaca također nije potrebno izračunati kut φ, za to je dovoljno izračunati samo skalarni proizvod vektora v1¯ i v 2¯. Mora biti nula.
U slučaju presijecanja ravnih linija u prostoru, također se može koristiti formula za kut φ. U tom slučaju rezultat treba ispravno protumačiti. Izračunati φ pokazuje kut između vektora smjera pravaca koji se ne sijeku i nisu paralelni.
Zadatak 1. Okomite linije
Poznato je da jednadžbe pravaca imaju oblik:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Neophodno je utvrditi jesu li ovi redoviokomito.
Kao što je gore spomenuto, da bi se odgovorilo na pitanje, dovoljno je izračunati skalarni proizvod vektora vodilica, koji odgovaraju koordinatama (1; 2) i (-4; 2). Imamo:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Budući da smo dobili 0, to znači da se razmatrane prave sijeku pod pravim kutom, odnosno da su okomite.
Zadatak 2. Kut presjeka linija
Poznato je da dvije jednadžbe za ravne linije imaju sljedeći oblik:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Potrebno je pronaći kut između linija.
Budući da koeficijenti od x imaju različite vrijednosti, ovi pravci nisu paralelni. Da bismo pronašli kut koji nastaje kada se sijeku, prevodimo svaku od jednadžbi u vektorski oblik.
Za prvi red dobivamo:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Na desnoj strani jednadžbe dobili smo vektor čije koordinate ovise o x. Predstavimo ga kao zbroj dva vektora, a koordinate prvog će sadržavati varijablu x, a koordinate drugog će se sastojati isključivo od brojeva:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Budući da x uzima proizvoljne vrijednosti, može se zamijeniti parametrom α. Vektorska jednadžba za prvi red postaje:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Radimo iste radnje s drugom jednadžbom linije, dobivamo:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Prepisali smo izvorne jednadžbe u vektorskom obliku. Sada možete koristiti formulu za kut presjeka, zamjenjujući u njoj koordinate usmjeravajućih vektora linija:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Dakle, razmatrane linije sijeku se pod kutom od 71,565o, ili 1,249 radijana.
Ovaj se problem mogao riješiti drugačije. Da biste to učinili, bilo je potrebno uzeti dvije proizvoljne točke svake ravne, od njih sastaviti izravne vektore, a zatim upotrijebiti formulu za φ.
