U geometriji, nakon točke, ravna crta je možda najjednostavniji element. Koristi se u izgradnji bilo kakvih složenih figura na ravnini i u trodimenzionalnom prostoru. U ovom članku razmotrit ćemo opću jednadžbu ravne linije i pomoću nje riješiti nekoliko problema. Počnimo!
Prava linija u geometriji
Svi znaju da oblici kao što su pravokutnik, trokut, prizma, kocka i tako dalje nastaju presijecanjem ravnih linija. Ravna crta u geometriji je jednodimenzionalni objekt koji se može dobiti prijenosom određene točke na vektor istog ili suprotnog smjera. Da bismo bolje razumjeli ovu definiciju, zamislimo da postoji neka točka P u prostoru. Uzmimo proizvoljan vektor u¯ u ovom prostoru. Tada se bilo koja točka Q pravca može dobiti kao rezultat sljedećih matematičkih operacija:
Q=P + λu¯.
Ovdje λ je proizvoljan broj koji može biti pozitivan ili negativan. Ako je jednakostnapišite gore u smislu koordinata, tada ćemo dobiti sljedeću jednadžbu ravne linije:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ova se jednakost naziva jednadžba ravne crte u vektorskom obliku. A vektor u¯ se zove vodič.
Opća jednadžba ravne u ravnini
Svaki učenik to može zapisati bez ikakvih poteškoća. Ali najčešće se jednadžba piše ovako:
y=kx + b.
Gdje su k i b proizvoljni brojevi. Broj b naziva se slobodnim članom. Parametar k jednak je tangentu kuta koji nastaje presjekom ravne crte s osi x.
Navedena jednadžba je izražena s obzirom na varijablu y. Ako ga predstavimo u općenitijem obliku, onda ćemo dobiti sljedeću notaciju:
Ax + By + C=0.
Lako je pokazati da se ovaj oblik pisanja opće jednadžbe ravne linije na ravnini lako pretvara u prethodni oblik. Da biste to učinili, lijevi i desni dio treba podijeliti s faktorom B i izraziti y.
Slika iznad prikazuje ravnu liniju koja prolazi kroz dvije točke.
Linija u 3D prostoru
Nastavimo naše proučavanje. Razmatrali smo pitanje kako je jednadžba ravne u općem obliku dana na ravnini. Što ćemo dobiti ako za prostorni slučaj primijenimo oznaku iz prethodnog stavka članka? Sve je jednostavno - više nije ravna crta, već ravnina. Doista, sljedeći izraz opisuje ravninu koja je paralelna z-osi:
Ax + By + C=0.
Ako je C=0, tada takva ravnina prolazikroz z-os. Ovo je važna značajka.
Kako onda biti s općom jednadžbom ravne u prostoru? Da biste razumjeli kako to pitati, morate se nečega sjetiti. Dvije ravnine sijeku se duž određene ravne linije. Što to znači? Samo da je opća jednadžba rezultat rješavanja sustava dviju jednadžbi za ravnine. Napišimo ovaj sustav:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ovaj sustav je opća jednadžba ravne linije u prostoru. Imajte na umu da ravnine ne smiju biti međusobno paralelne, odnosno njihovi normalni vektori moraju biti nagnuti pod nekim kutom jedan prema drugom. Inače, sustav neće imati rješenja.
Iznad smo dali vektorski oblik jednadžbe za ravnu liniju. Prikladan je za korištenje pri rješavanju ovog sustava. Da biste to učinili, prvo morate pronaći vektorski produkt normala ovih ravnina. Rezultat ove operacije bit će vektor smjera ravne linije. Zatim treba izračunati bilo koju točku koja pripada pravcu. Da biste to učinili, trebate postaviti bilo koju od varijabli jednaku određenoj vrijednosti, dvije preostale varijable se mogu pronaći rješavanjem reduciranog sustava.
Kako prevesti vektorsku jednadžbu u opću? Nijanse
Ovo je stvarni problem koji može nastati ako trebate napisati opću jednadžbu ravne linije koristeći poznate koordinate dviju točaka. Pokažimo kako se ovaj problem rješava na primjeru. Neka su poznate koordinate dviju točaka:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Jednadžba u vektorskom obliku prilično je lako sastaviti. Vektorske koordinate smjera su:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Imajte na umu da nema razlike ako oduzmemo Q koordinate od koordinata točke P, vektor će samo promijeniti svoj smjer u suprotno. Sada biste trebali uzeti bilo koju točku i zapisati vektorsku jednadžbu:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Za pisanje opće jednadžbe ravne linije, parametar λ treba biti izražen u oba slučaja. I onda usporedite rezultate. Imamo:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Ostaje samo otvoriti zagrade i prenijeti sve članove jednadžbe na jednu stranu jednadžbe kako bi se dobio opći izraz za ravnu liniju koja prolazi kroz dvije poznate točke.
U slučaju trodimenzionalnog problema, algoritam rješenja je sačuvan, samo će njegov rezultat biti sustav dviju jednadžbi za ravnine.
Zadatak
Potrebno je napraviti opću jednadžburavna linija koja siječe x-os na (-3, 0) i paralelna je s y-osi.
Počnimo rješavati problem pisanjem jednadžbe u vektorskom obliku. Budući da je pravac paralelan s y-osi, tada će vektor usmjeravanja za nju biti sljedeći:
u¯=(0, 1).
Tada će željeni red biti napisan na sljedeći način:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Sada prevedemo ovaj izraz u opći oblik, za to izražavamo parametar λ:
- x=-3;
- y=λ.
Dakle, bilo koja vrijednost varijable y pripada retku, međutim, samo jedna vrijednost varijable x joj odgovara. Stoga će opća jednadžba imati oblik:
x + 3=0.
Problem s ravnom linijom u prostoru
Poznato je da su dvije ravnine koje se sijeku dane sljedećim jednadžbama:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Potrebno je pronaći vektorsku jednadžbu ravne duž koje se te ravnine sijeku. Počnimo.
Kao što je rečeno, opća jednadžba ravne u trodimenzionalnom prostoru već je data u obliku sustava dvojke s tri nepoznanice. Prije svega odredimo vektor smjera duž kojeg se ravnine sijeku. Množenjem vektorskih koordinata normala na ravnine dobivamo:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Budući da množenje vektora negativnim brojem obrće njegov smjer, možemo napisati:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Zada bi se pronašao vektorski izraz za ravnu liniju, osim vektora smjera, treba znati i neku točku ove ravne linije. Nađi budući da njegove koordinate moraju zadovoljiti sustav jednadžbi u uvjetu problema, onda ćemo ih pronaći. Na primjer, stavimo x=0, tada ćemo dobiti:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Dakle, točka koja pripada željenoj pravoj liniji ima koordinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Tada ćemo dobiti odgovor na ovaj problem, vektorska jednadžba željene linije će izgledati ovako:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Točnost rješenja može se lako provjeriti. Da biste to učinili, trebate odabrati proizvoljnu vrijednost parametra λ i zamijeniti dobivene koordinate točke ravne u obje jednadžbe za ravnine, dobit ćete identitet u oba slučaja.
