Matematika nije dosadna znanost, kako se ponekad čini. Ima puno zanimljivog, iako ponekad neshvatljivog za one koji ga ne žele razumjeti. Danas ćemo govoriti o jednoj od najčešćih i najjednostavnijih tema u matematici, odnosno njenom području koje je na rubu algebre i geometrije. Razgovarajmo o linijama i njihovim jednadžbama. Čini se da je ovo dosadna školska tema koja ne obećava ništa zanimljivo i novo. Međutim, to nije tako i u ovom članku pokušat ćemo vam dokazati svoje stajalište. Prije nego što prijeđemo na najzanimljivije i opišemo jednadžbu ravne linije kroz dvije točke, osvrnut ćemo se na povijest svih ovih mjerenja, a zatim saznati zašto je sve to bilo potrebno i zašto sada poznavanje sljedećih formula neće bilo boli.
Povijest
Matematičari su čak iu stara vremena voljeli geometrijske konstrukcije i sve vrste grafova. Teško je danas reći tko je prvi došao do jednadžbe ravne kroz dvije točke. Ali može se pretpostaviti da je ta osoba bila Euklid -starogrčki znanstvenik i filozof. Upravo je on u svojoj raspravi "Počeci" dao temelje buduće euklidske geometrije. Sada se ovaj dio matematike smatra osnovom geometrijskog prikaza svijeta i uči se u školi. No, vrijedno je reći da euklidska geometrija djeluje samo na makro razini u našoj trodimenzionalnoj dimenziji. Ako uzmemo u obzir prostor, onda nije uvijek moguće uz pomoć njega zamisliti sve pojave koje se tamo događaju.
Nakon Euklida bili su drugi znanstvenici. I usavršili su i shvatili ono što je otkrio i napisao. Na kraju se pokazalo stabilno područje geometrije, u kojem sve još uvijek ostaje nepokolebljivo. A već tisućama godina dokazano je da je jednadžbu ravne linije kroz dvije točke vrlo lako i jednostavno sastaviti. Ali prije nego što počnemo objašnjavati kako to učiniti, raspravimo malo teorije.
Teorija
Prava crta je segment beskonačan u oba smjera, koji se može podijeliti na beskonačan broj segmenata bilo koje duljine. Za prikaz ravne crte najčešće se koriste grafovi. Štoviše, grafovi mogu biti u dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim koordinatnim sustavima. I grade se prema koordinatama točaka koje im pripadaju. Uostalom, ako uzmemo u obzir ravnu liniju, možemo vidjeti da se ona sastoji od beskonačnog broja točaka.
Međutim, postoji nešto u čemu se ravna crta jako razlikuje od drugih vrsta linija. Ovo je njezina jednadžba. Općenito govoreći, vrlo je jednostavna, za razliku od, recimo, jednadžbe kružnice. Sigurno je svatko od nas to prošao u školi. Aliipak, zapišimo njegov opći oblik: y=kx+b. U sljedećem ćemo odjeljku detaljno analizirati što svako od ovih slova znači i kako riješiti ovu jednostavnu jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz dvije točke.
jednadžba
Jednakost koja je gore predstavljena je jednadžba pravocrtne linije koja nam je potrebna. Vrijedi objasniti na što se ovdje misli. Kao što možete pretpostaviti, y i x su koordinate svake točke na liniji. Općenito, ova jednadžba postoji samo zato što svaka točka bilo koje ravne linije teži biti u vezi s drugim točkama, pa stoga postoji zakon koji povezuje jednu koordinatu s drugom. Ovaj zakon određuje kako izgleda jednadžba ravne linije kroz dvije zadane točke.
Zašto točno dvije točke? Sve je to zato što je minimalni broj točaka potrebnih za konstruiranje ravne linije u dvodimenzionalnom prostoru dvije. Ako uzmemo trodimenzionalni prostor, tada će broj točaka potrebnih za konstruiranje jedne ravne linije također biti jednak dvije, budući da tri točke već čine ravninu.
Također postoji teorem koji dokazuje da je moguće povući jednu ravnu liniju kroz bilo koje dvije točke. Ta se činjenica može provjeriti u praksi spajanjem dvije slučajne točke na grafikonu ravnalom.
Sada pogledajmo konkretan primjer i pokažimo kako riješiti ovu ozloglašenu jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz dvije zadane točke.
Primjer
Razmotrite dvije točkekoje trebate izgraditi ravnu liniju. Postavimo njihove koordinate, na primjer, M1(2;1) i M2(3;2). Kao što znamo iz školskog tečaja, prva koordinata je vrijednost duž osi OX, a druga vrijednost duž osi OY. Iznad je data jednadžba ravne kroz dvije točke, a da bismo saznali parametre k i b koji nedostaju potrebno je sastaviti sustav od dvije jednadžbe. Zapravo, bit će sastavljena od dvije jednadžbe, od kojih će svaka sadržavati naše dvije nepoznate konstante:
1=2k+b
2=3k+b
Sada ostaje najvažnije: riješiti ovaj sustav. To se radi vrlo jednostavno. Prvo, izrazimo b iz prve jednadžbe: b=1-2k. Sada trebamo zamijeniti rezultirajuću jednakost u drugu jednadžbu. To se radi zamjenom b s jednakošću koju smo dobili:
2=3k+1-2k
1=k;
Sada kada znamo koja je vrijednost koeficijenta k, vrijeme je da saznamo vrijednost sljedeće konstante - b. Ovo je još lakše. Budući da znamo ovisnost b o k, možemo zamijeniti vrijednost potonjeg u prvu jednadžbu i saznati nepoznatu vrijednost:
b=1-21=-1.
Poznavajući oba koeficijenta, sada ih možemo zamijeniti u izvornu opću jednadžbu ravne linije kroz dvije točke. Tako, za naš primjer, dobivamo sljedeću jednadžbu: y=x-1. Ovo je željena jednakost, koju smo morali dobiti.
Prije nego pređemo na zaključak, raspravimo o primjeni ovog dijela matematike u svakodnevnom životu.
Prijava
Kao takva, jednadžba ravne linije kroz dvije točke nema primjenu. Ali to ne znači da nam ne treba. U fizici i matematicivrlo se aktivno koriste jednadžbe linija i svojstva koja iz njih slijede. Možda to i ne primijetite, ali matematika je svuda oko nas. Pa čak i takve naizgled neupadljive teme kao što je jednadžba ravne linije kroz dvije točke pokazuju se vrlo korisnima i vrlo često primjenjivima na temeljnoj razini. Ako se na prvi pogled čini da to nigdje ne može biti korisno, onda se varate. Matematika razvija logičko razmišljanje, koje nikada neće biti suvišno.
Zaključak
Sada kada smo shvatili kako crtati crte iz dvije zadane točke, lako nam je odgovoriti na svako pitanje u vezi s tim. Na primjer, ako vam učitelj kaže: "Napišite jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke", onda vam to neće biti teško učiniti. Nadamo se da vam je ovaj članak bio koristan.
