Jedan od aksioma geometrije kaže da je kroz bilo koje dvije točke moguće povući jednu ravnu liniju. Ovaj aksiom svjedoči da postoji jedinstveni numerički izraz koji na jedinstven način opisuje navedeni jednodimenzionalni geometrijski objekt. Razmotrite u članku pitanje kako napisati jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke.
Što su točka i pravac?
Prije razmatranja pitanja konstruiranja u prostoru i na ravnini ravne jednadžbe koja prolazi kroz par različitih točaka, treba definirati navedene geometrijske objekte.
Točka je jedinstveno određena skupom koordinata u danom sustavu koordinatnih osi. Osim njih, nema više karakteristika za točku. Ona je objekt nulte dimenzije.
Kada se govori o ravnoj liniji, svaka osoba zamišlja crtu prikazanu na bijelom listu papira. Istodobno je moguće dati točnu geometrijsku definicijuovaj objekt. Ravna linija je takva zbirka točaka za koju će veza svake od njih sa svim ostalima dati skup paralelnih vektora.
Ova se definicija koristi pri postavljanju vektorske jednadžbe ravne linije, o čemu će biti riječi u nastavku.
Budući da se bilo koja linija može označiti segmentom proizvoljne duljine, kaže se da je jednodimenzionalni geometrijski objekt.
Vektorska funkcija broja
Jednadžba kroz dvije točke prolazne ravne linije može se napisati u različitim oblicima. U trodimenzionalnim i dvodimenzionalnim prostorima, glavni i intuitivno razumljiv numerički izraz je vektor.
Pretpostavimo da postoji neki usmjereni segment u¯(a; b; c). U 3D prostoru vektor u¯ može započeti u bilo kojoj točki, tako da njegove koordinate definiraju beskonačan skup paralelnih vektora. Međutim, ako odaberemo određenu točku P(x0; y0; z0) i stavimo kao početak vektora u¯, tada se množenjem ovog vektora s proizvoljnim realnim brojem λ mogu dobiti sve točke jedne ravne linije u prostoru. Odnosno, vektorska jednadžba bit će zapisana kao:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Očito, za slučaj na ravnini, numerička funkcija ima oblik:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Prednost ove vrste jednadžbe u odnosu na ostale (u segmentima, kanonski,opći oblik) leži u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora smjera. Potonji se često koristi za određivanje jesu li pravci paralelni ili okomiti.
Općenito u segmentima i kanonska funkcija za ravnu liniju u dvodimenzionalnom prostoru
Kada rješavate probleme, ponekad trebate napisati jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz dvije točke u određenom, specifičnom obliku. Stoga treba dati druge načine specificiranja ovog geometrijskog objekta u dvodimenzionalnom prostoru (radi jednostavnosti, razmatramo slučaj na ravnini).
Počnimo s općom jednadžbom. Ima oblik:
Ax + By + C=0
U pravilu, na ravnini je jednadžba ravne napisana u ovom obliku, samo je y eksplicitno definiran kroz x.
Sada transformirajte gornji izraz na sljedeći način:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ovaj izraz naziva se jednadžba u segmentima, budući da nazivnik za svaku varijablu pokazuje koliko dugo segment linije odsijeca na odgovarajućoj koordinatnoj osi u odnosu na početnu točku (0; 0).
Ostaje dati primjer kanonske jednadžbe. Da bismo to učinili, vektorsku jednakost zapisujemo eksplicitno:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Izrazimo parametar λ odavde i izjednačimo rezultirajuće jednakosti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Posljednja jednakost naziva se jednadžba u kanonskom ili simetričnom obliku.
Svaki od njih se može pretvoriti u vektor i obrnuto.
Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz dvije točke: tehnika kompilacije
Natrag na pitanje članka. Pretpostavimo da postoje dvije točke u prostoru:
M(x1; y1; z1) i N(x 2; y2; z2)
Jedina ravna linija prolazi kroz njih, čiju je jednadžbu vrlo lako sastaviti u vektorskom obliku. Da bismo to učinili, izračunavamo koordinate usmjerenog segmenta MN¯, imamo:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nije teško pretpostaviti da će ovaj vektor biti vodič za ravnu liniju, čiju jednadžbu treba dobiti. Znajući da također prolazi kroz M i N, možete koristiti koordinate bilo koje od njih za vektorski izraz. Tada željena jednadžba poprima oblik:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Za slučaj u dvodimenzionalnom prostoru dobivamo sličnu jednakost bez sudjelovanja varijable z.
Čim se vektorska jednakost za liniju napiše, može se prevesti u bilo koji drugi oblik koji zahtijeva pitanje problema.
Zadatak:napiši opću jednadžbu
Poznato je da pravac prolazi kroz točke s koordinatama (-1; 4) i (3; 2). Potrebno je sastaviti jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz njih, u općem obliku, izražavajući y u terminima x.
Da bismo riješili problem, najprije napišemo jednadžbu u vektorskom obliku. Koordinate vektora (vodiča) su:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Tada je vektorski oblik jednadžbe ravne linije sljedeći:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Ostaje ga napisati u općem obliku u obliku y(x). Eksplicitno prepisujemo ovu jednakost, izražavamo parametar λ i isključujemo ga iz jednadžbe:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Iz rezultirajuće kanonske jednadžbe izražavamo y i dolazimo do odgovora na pitanje problema:
y=-0,5x + 3,5
Valjanost ove jednakosti može se provjeriti zamjenom koordinata točaka navedenih u opisu problema.
Problem: ravna linija koja prolazi središtem segmenta
Sada riješimo jedan zanimljiv problem. Pretpostavimo da su dane dvije točke M(2; 1) i N(5; 0). Poznato je da središtem segmenta koji spaja točke prolazi pravac i okomit je na nju. Napišite jednadžbu ravne linije koja prolazi sredinom segmenta u vektorskom obliku.
Željeni numerički izraz može se formirati izračunavanjem koordinata ovog centra i određivanjem vektora smjera, kojisegment čini kut 90o.
Središnjica segmenta je:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Sada izračunajmo koordinate vektora MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Budući da je vektor smjera za željenu liniju okomit na MN¯, njihov je skalarni proizvod jednak nuli. To vam omogućuje da izračunate nepoznate koordinate (a; b) vektora upravljanja:
a3 - b=0=>
b=3a
Sada napišite vektorsku jednadžbu:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Ovdje smo zamijenili proizvod aλ novim parametrom β.
Tako smo napravili jednadžbu ravne linije koja prolazi središtem segmenta.
