Ravninske jednadžbe. Kut između dvije ravnine

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Ravan, zajedno s točkom i ravnom linijom, osnovni je geometrijski element. Njegovom uporabom izgrađuju se mnoge figure u prostornoj geometriji. U ovom članku ćemo detaljnije razmotriti pitanje kako pronaći kut između dvije ravnine.

koncept

Prije nego što počnete govoriti o kutu između dvije ravnine, trebali biste dobro razumjeti o kojem elementu u geometriji govorimo. Razumijemo terminologiju. Ravnina je beskonačna zbirka točaka u prostoru, povezujući koje dobivamo vektore. Potonji će biti okomit na neki vektor. Obično se naziva normala na ravninu.

Slika iznad prikazuje ravninu i dva normalna vektora na nju. Vidi se da oba vektora leže na istoj pravoj liniji. Kut između njih je 180o.

jednadžbe

Kut između dvije ravnine može se odrediti ako je poznata matematička jednadžba razmatranog geometrijskog elementa. Postoji nekoliko vrsta takvih jednadžbi,čija su imena navedena u nastavku:

• opći tip;
• vektor;
• u segmentima.

Ove tri vrste su najprikladnije za rješavanje raznih vrsta problema, pa se najčešće koriste.

Općenita jednadžba izgleda ovako:

Ax + By + Cz + D=0.

Ovdje su x, y, z koordinate proizvoljne točke koja pripada danoj ravnini. Parametri A, B, C i D su brojevi. Pogodnost ove oznake leži u činjenici da su brojevi A, B, C koordinate vektora normalne na ravninu.

Vektorski oblik ravnine može se predstaviti na sljedeći način:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Ovdje (a₂, b₂, c₂) i (a ₁, b₁, c₁) - parametri dvaju koordinatnih vektora koji pripadaju razmatranoj ravnini. Točka (x₀, y₀, z_{0) također leži u ovoj ravnini. Parametri α i β mogu imati neovisne i proizvoljne vrijednosti.}

Konačno, jednadžba ravnine u segmentima je predstavljena u sljedećem matematičkom obliku:

x/p + y/q + z/l=1.

Ovdje su p, q, l određeni brojevi (uključujući negativne). Ova vrsta jednadžbe je korisna kada je potrebno prikazati ravninu u pravokutnom koordinatnom sustavu, budući da brojevi p, q, l pokazuju točke presjeka s osi x, y i zavion.

Napominjemo da se svaka vrsta jednadžbe može pretvoriti u bilo koju drugu pomoću jednostavnih matematičkih operacija.

Formula za kut između dvije ravnine

Sada razmotrite sljedeću nijansu. U trodimenzionalnom prostoru dvije ravnine mogu se locirati na samo dva načina. Ili se sijeku ili budu paralelni. Između dvije ravnine kut je ono što se nalazi između njihovih vektora vodilja (normalno). Presijecajući, 2 vektora tvore 2 kuta (oštar i tup u općem slučaju). Kut između ravnina smatra se akutnim. Razmotrite jednadžbu.

Formula za kut između dvije ravnine je:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Lako je pogoditi da je ovaj izraz izravna posljedica skalarnog produkta normalnih vektora n₁¯ i n₂ ¯ za razmatrane ravnine. Modul točkastog proizvoda u brojniku pokazuje da će kut θ imati samo vrijednosti od 0^o do 90^{o. Umnožak modula normalnih vektora u nazivniku znači umnožak njihovih duljina.}

Napomena, ako je (n₁¯n_{2¯)=0, tada se ravnine sijeku pod pravim kutom.}

Primjer problema

Nakon što smo shvatili što se zove kut između dvije ravnine, riješit ćemo sljedeći problem. Kao primjer. Dakle, potrebno je izračunati kut između ovakvih ravnina:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Da biste riješili problem, morate znati vektore smjera ravnina. Za prvu ravninu, normalni vektor je: n₁¯=(2, -3, 0). Da bismo pronašli vektor normale druge ravnine, treba pomnožiti vektore nakon parametara α i β. Rezultat je vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Za određivanje kuta θ koristimo formulu iz prethodnog odlomka. Dobivamo:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Izračunati kut u radijanima odgovara 31,26^o. Dakle, ravnine iz uvjeta problema sijeku se pod kutom od 31, 26^o.