Malo je vjerojatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome je li moguće izračunati događaje koji su više ili manje nasumični. Jednostavno rečeno, je li realno znati koja će strana kockice ispasti sljedeća. Upravo su to pitanje postavila dva velika znanstvenika, koji su postavili temelje za takvu znanost kao što je teorija vjerojatnosti, u kojoj se vjerojatnost događaja prilično opširno proučava.
Porijeklo
Ako takav koncept pokušate definirati kao teoriju vjerojatnosti, dobit ćete sljedeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava postojanost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu bit, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.
Želio bih početi s tvorcima teorije. Kao što je gore spomenuto, bila su dvojica, a to su Pierre Fermat i Blaise Pascal. Upravo su oni među prvima pokušali izračunati ishod nekog događaja koristeći formule i matematičke izračune. U cjelini, rudimenti ove znanosti pojavili su se već godSrednji vijek. U to su vrijeme razni mislioci i znanstvenici pokušavali analizirati kockanje, kao što su rulet, craps i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i postotak ispadanja određenog broja. Temelj su postavili u sedamnaestom stoljeću spomenuti znanstvenici.
U početku se njihov rad nije mogao pripisati velikim postignućima na ovom području, jer sve što su radili bile su jednostavno empirijske činjenice, a eksperimenti su postavljeni vizualno, bez korištenja formula. S vremenom se pokazalo da postiže sjajne rezultate, koji su se pojavili kao rezultat promatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.
Suradnici
Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christian Huygens, u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerojatnosti" (vjerojatnost događaja obrađena je upravo u ovoj znanosti). Ova osoba je vrlo zanimljiva. On je, kao i gore predstavljeni znanstvenici, pokušao izvesti pravilnost slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da to nije učinio zajedno s Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji način nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je izveo osnovne koncepte teorije vjerojatnosti.
Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada pionira, odnosno dvadeset godina ranije. Među naznačenim konceptima najpoznatiji su:
- koncept vjerojatnosti kao veličine slučaja;
- očekivanje za diskretnoslučajevi;
- teoremi množenja i zbrajanja vjerojatnosti.
Također je nemoguće ne sjetiti se Jacoba Bernoullija, koji je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, neovisno o bilo kome, uspio je predstaviti dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, znanstvenici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog stoljeća, uspjeli su dokazati izvorne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerojatnosti počela koristiti za analizu pogrešaka tijekom promatranja. Ruski znanstvenici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov, nisu mogli zaobići ni ovu znanost. Na temelju rada koje su izvršili veliki genijalci, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove figure djelovale su već krajem devetnaestog stoljeća, a zahvaljujući njihovom doprinosu pojavile su se pojave kao što su:
- zakon velikih brojeva;
- Markovljeva teorija lanca;
- teorem središnje granice.
Dakle, s poviješću rađanja znanosti i s glavnim ljudima koji su na nju utjecali, sve je manje-više jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.
Osnovni koncepti
Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerojatnosti. Događaj u tome preuzima vodeću ulogu. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.
Događaj u teoriji vjerojatnosti je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, znanstvenik Lotman,radeći na ovom području, rekao je da u ovom slučaju govorimo o nečemu što se "dogodilo, iako se možda nije dogodilo."
Slučajni događaji (teorija vjerojatnosti im posvećuje posebnu pozornost) koncept je koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji se može dogoditi. Ili, obrnuto, ovaj scenarij se možda neće dogoditi kada su ispunjeni mnogi uvjeti. Također je vrijedno znati da su slučajni događaji ti koji zahvaćaju cijeli opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerojatnosti pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo ponašanje zvalo "iskustvo" ili "test".
Određeni događaj je onaj koji će se 100% dogoditi u danom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.
Kombinacija para radnji (konvencionalno slučaj A i slučaj B) je fenomen koji se događa istovremeno. Označeni su kao AB.
Zbroj parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), dobit će se C. Formula opisanog fenomena piše se na sljedeći način: C=A + B.
Disjunktivni događaji u teoriji vjerojatnosti impliciraju da se dva slučaja međusobno isključuju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerojatnosti njihov su antipod. To implicira da ako se dogodi A, onda to ne ometa B.
Suprotne događaje (teorija vjerojatnosti se s njima bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje ih je pozabaviti usporedbom. Gotovo su isti kaoi nespojivi događaji u teoriji vjerojatnosti. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena ipak mora dogoditi.
Ekvivalentni događaji su one radnje čija je mogućnost jednaka. Da bi bilo jasnije, možemo zamisliti bacanje novčića: pad jedne od njegovih strana jednako je vjerojatno da će pasti i druge.
Pogodan događaj lakše je vidjeti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kocke s pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Onda se ispostavi da A favorizira B.
Nezavisni događaji u teoriji vjerojatnosti projiciraju se samo na dva ili više slučajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od drugog. Na primjer, A je gubitak repova kada se baci novčić, a B je izvlačenje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerojatnosti. U ovom trenutku postalo je jasnije.
Ovisni događaji u teoriji vjerojatnosti također su dopušteni samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog o drugom, odnosno fenomen B se može pojaviti samo ako se A već dogodio ili se, naprotiv, nije dogodio, kada je to glavni uvjet za B.
Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerojatnosti objašnjava da je to fenomen koji se dogodio samo jednom.
Osnovne formule
Dakle, koncepti "događaja", "teorije vjerojatnosti",dana je i definicija temeljnih pojmova ove znanosti. Sada je vrijeme da se izravno upoznate s važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako teškom predmetu kao što je teorija vjerojatnosti. Vjerojatnost događaja također igra veliku ulogu ovdje.
Bolje počnite s osnovnim formulama kombinatorike. I prije nego što prijeđemo na njih, vrijedi razmisliti o čemu se radi.
Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama samih brojeva i njihovih elemenata, raznim podacima itd., što dovodi do pojave niz kombinacija. Osim teorije vjerojatnosti, ova grana je važna za statistiku, informatiku i kriptografiju.
Dakle, sada možemo prijeći na predstavljanje samih formula i njihovo definiranje.
Prvi će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Jednadžba se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po redoslijedu.
Sada će se uzeti u obzir formula položaja, izgleda ovako:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ovaj izraz se ne odnosi samo na redoslijed elementa, već i na njegov sastav.
Treća jednadžba iz kombinatorike, a ujedno je i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinacije su odabiri koji nisu poredani, odnosno, i ovo se pravilo primjenjuje na njih.
Pokazalo se da je lako odgonetnuti formule kombinatorike, sada možemo prijeći na klasičnu definiciju vjerojatnosti. Ovaj izraz izgleda ovako:
P(A)=m: n.
U ovoj formuli, m je broj uvjeta pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.
Postoji veliki broj izraza, članak neće obuhvatiti sve njih, ali će se dotaknuti najvažniji od njih, kao što je, na primjer, vjerojatnost zbroja događaja:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ovaj teorem služi za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - a ovo je za dodavanje samo kompatibilnih.
Vjerojatnost stvaranja događaja:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ovaj teorem je za nezavisne događaje;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za ovisnici.
Formula događaja završava popis. Teorija vjerojatnosti govori nam o Bayesovom teoremu, koji izgleda ovako:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
U ovoj formuli, H1, H2, …, H je kompletna grupa hipoteza.
Zaustavimo se ovdje, zatim ćemo razmotriti primjere primjene formula za rješavanje specifičnih problema iz prakse.
Primjeri
Ako pažljivo proučite bilo koji diomatematike, ne ide bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerojatnosti: događaji, primjeri ovdje su sastavni dio koji potvrđuje znanstvene izračune.
Formula za broj permutacija
Recimo da postoji trideset karata u špilu karata, počevši od nominalne vrijednosti jedan. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina za slaganje špila tako da karte s nominalnom vrijednošću jedan i dva ne budu jedna do druge?
Zadatak je postavljen, sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30=30!.
Na temelju ovog pravila saznat ćemo koliko opcija postoji za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljedeće. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispada da prva karta može zauzeti dvadeset i devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak može zauzeti dvadeset i osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28=28!
Kao rezultat, ispada da ako razmotrimo rješenje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti!=29!
Koristeći istu metodu, trebate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28!=29!
Slijedi da postoje 2 ⋅ 29 dodatnih opcija!, dok postoji 30 potrebnih načina za izradu špila! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo brojati.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet zajedno, a zatim na kraju sve pomnožiti s 28. Odgovor je 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Rješenje primjera. Formula za broj položaja
U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da se petnaest svezaka stavi na jednu policu, ali pod uvjetom da ima ukupno trideset svezaka.
Ovaj problem ima malo lakše rješenje od prethodnog. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj lokacija iz trideset svezaka od petnaest.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2072 0
Odgovor će biti 202 843 204 931 727 360 000.
A sada uzmimo zadatak malo težim. Morate saznati na koliko načina možete rasporediti trideset knjiga na dvije police s knjigama, pod uvjetom da samo petnaest svezaka može biti na jednoj polici.
Prije početka rješavanja želio bih pojasniti da se neki problemi rješavaju na više načina, tako da u ovom postoje dva načina, ali se u oba koristi ista formula.
U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu s petnaest knjiga za-različito. Pokazalo se A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Drugu policu izračunat ćemo permutacijskom formulom, jer je u nju smješteno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristite formulu P_15=15!.
Ispostavilo se da će zbroj biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, osim toga, umnožak svih brojeva od trideset do šesnaest morat će se pomnožiti s umnoškom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat, umnožak svih brojeva od jedan do trideset, pa je odgovor 30!
Ali ovaj se problem može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravninu, ali budući da uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu dugu prerežemo na pola, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga ispada da opcije postavljanja mogu biti P_30=30!.
Rješenje primjera. Formula za kombinaciju broja
Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina možete rasporediti petnaest knjiga, pod uvjetom da trebate odabrati između trideset potpuno identičnih.
Za rješenje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uvjeta postaje jasno da redoslijed identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga u početku trebate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: petnaest !=155 117 520
To je to. Koristeći ovu formulu, to je bilo moguće u najkraćem mogućem rokuriješiti takav problem, odgovor je 155 117 520.
Rješenje primjera. Klasična definicija vjerojatnosti
Uz gornju formulu možete pronaći odgovor na jednostavan problem. Ali pomoći će vizualno vidjeti i pratiti tijek radnji.
U zadatku je dato da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih kuglica. Od toga su četiri žute, a šest plave. Iz urne se uzima jedna lopta. Morate saznati vjerojatnost da dobijete plavu boju.
Za rješavanje problema potrebno je naznačiti dobivanje plave lopte kao događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerojatni. Istovremeno, od deset, šest je povoljno za događaj A. Rješavamo prema formuli:
P(A)=6: 10=0, 6
Primjenom ove formule otkrili smo da je vjerojatnost da dobijemo plavu kuglicu 0,6.
Rješenje primjera. Vjerojatnost zbroja događaja
Sada će biti predstavljena varijanta koja se rješava pomoću formule za vjerojatnost zbroja događaja. Dakle, pod uvjetom da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Morate saznati kolika je šansa da kuglice koje dobijete budu sive i bijele.
Da biste riješili ovaj problem, morate označiti događaje.
- Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A)=1/6.
- A’ – uzmi bijelu loptu također iz prve kutije: P(A')=5/6.
- B – siva lopta je već izvađena iz druge kutije: P(B)=2/3.
- B’ – uzmi sivu loptu iz druge kutije: P(B')=1/3.
Prema uvjetu problema mora se dogoditi jedna od pojava: AB' ili A'B. Koristeći formulu, dobivamo: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Sada je korištena formula za množenje vjerojatnosti. Zatim, da biste saznali odgovor, trebate primijeniti jednadžbu za njihov zbrajanje:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ovako, koristeći formulu, možete riješiti slične probleme.
Rezultat
Članak je pružio informacije o temi "Teorija vjerojatnosti", u kojoj vjerojatnost događaja igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na temelju iznesenog teksta, teoretski može upoznati s ovim dijelom matematike. Dotična znanost može biti korisna ne samo u profesionalnom radu, već iu svakodnevnom životu. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.
Tekst se dotaknuo i značajnih datuma u povijesti nastanka teorije vjerojatnosti kao znanosti, te imena ljudi čiji su radovi u nju uloženi. Tako je ljudska znatiželja dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekad ih je to samo zanimalo, a danas za to već svi znaju. I nitko neće reći što nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana uz razmatranu teoriju doći. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne miruje!
