Mnogi, suočeni s konceptom "teorije vjerojatnosti", uplašeni su, misleći da je to nešto silno, vrlo složeno. Ali zapravo nije sve tako tragično. Danas ćemo razmotriti osnovni koncept teorije vjerojatnosti, naučiti rješavati probleme na konkretnim primjerima.
Znanost
Što proučava jedna grana matematike kao što je "teorija vjerojatnosti"? Bilježi obrasce slučajnih događaja i količina. Prvi put su se znanstvenici za ovo pitanje zainteresirali još u osamnaestom stoljeću, kada su proučavali kockanje. Osnovni koncept teorije vjerojatnosti je događaj. To je svaka činjenica koja je potvrđena iskustvom ili promatranjem. Ali što je iskustvo? Drugi osnovni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da ovaj sklop okolnosti nije stvoren slučajno, već s određenom svrhom. Što se tiče promatranja, ovdje sam istraživač ne sudjeluje u eksperimentu, već je jednostavno svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utječe na to što se događa.
Događaji
Saznali smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti događaj, ali nismo uzeli u obzir klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:
- Pouzdan.
- Nemoguće.
- Nasumično.
Nema vezekakvi se događaji promatraju ili stvaraju tijekom iskustva, svi oni podliježu ovoj klasifikaciji. Nudimo upoznavanje sa svakom vrstom posebno.
Određeni događaj
Ovo je okolnost pred kojom su poduzete potrebne mjere. Kako bismo bolje razumjeli bit, bolje je navesti nekoliko primjera. Fizika, kemija, ekonomija i viša matematika podliježu ovom zakonu. Teorija vjerojatnosti uključuje tako važan koncept kao što je određeni događaj. Evo nekoliko primjera:
- Radimo i primamo naknadu u obliku plaće.
- Dobro smo položili ispite, prošli na natječaju, za to dobivamo nagradu u obliku prijema u obrazovnu ustanovu.
- Uložili smo novac u banku, vratit ćemo ga ako bude potrebno.
Takvi događaji su pouzdani. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, tada ćemo sigurno dobiti očekivani rezultat.
Nemogući događaji
Sada razmatramo elemente teorije vjerojatnosti. Predlažemo da prijeđemo na objašnjenje sljedeće vrste događaja, odnosno nemogućeg. Prvo, navedite najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Ne možete odstupiti od ove formulacije prilikom rješavanja problema. Da pojasnimo, evo primjera takvih događaja:
- Voda se smrzla na plus deset (to je nemoguće).
- Nedostatak struje ni na koji način ne utječe na proizvodnju (isto nemoguće kao u prethodnom primjeru).
Još primjeraNije vrijedno citiranja, budući da gore opisani vrlo jasno odražavaju bit ove kategorije. Nemogući događaj se nikada neće dogoditi tijekom iskustva ni pod kojim okolnostima.
Slučajni događaji
Proučavajući elemente teorije vjerojatnosti, posebnu pažnju treba posvetiti ovoj vrsti događaja. To je ono što znanost proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može dogoditi, ali i ne mora. Osim toga, test se može ponoviti neograničen broj puta. Živopisni primjeri su:
- Bacanje novčića je iskustvo ili test, smjer je događaj.
- Slijepo izvlačenje lopte iz vreće je test, crvena lopta je uhvaćena je događaj i tako dalje.
Takvih primjera može biti neograničen broj, ali općenito bi suština trebala biti jasna. Za sažimanje i sistematizaciju stečenog znanja o događajima data je tablica. Teorija vjerojatnosti proučava samo posljednju vrstu od svih prikazanih.
| naslov | definicija | primjer |
| Pouzdan | Događaji koji se događaju uz 100% jamstvo pod određenim uvjetima. | Prijem u obrazovnu ustanovu s dobrim prijemnim ispitom. |
| Nemoguće | Događaji koji se nikada neće dogoditi ni pod kojim okolnostima. | Snijeg pada na temperaturi od plus trideset stupnjeva Celzijusa. |
| Nasumično | Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tijekom eksperimenta/testiranja. | Pogodi ili promaši kada bacaš košarkašku loptu u obruč. |
Zakoni
Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava mogućnost nastanka događaja. Kao i ostali, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:
- Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
- Zakon velikih brojeva.
Prilikom izračunavanja mogućnosti kompleksa, možete koristiti kompleks jednostavnih događaja kako biste postigli rezultat na lakši i brži način. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerojatnosti lako dokazuju uz pomoć nekih teorema. Počnimo s prvim zakonom.
Konvergencija nizova slučajnih varijabli
Napominjemo da postoji nekoliko vrsta konvergencije:
- Slijed slučajnih varijabli konvergira u vjerojatnosti.
- Gotovo nemoguće.
- RMS konvergencija.
- Konvergencija u distribuciji.
Dakle, u hodu je vrlo teško doći do dna. Evo nekoliko definicija koje će vam pomoći razumjeti ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Niz se naziva konvergentnim po vjerojatnosti ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojemu niz teži je veći od nule i blizu jedan.
Gotovo sigurno idemo na sljedeći prikaz. Oni to kažuniz gotovo sigurno konvergira na slučajnu varijablu s n koji teži beskonačnosti, a P teži vrijednosti blizu jedan.
Sljedeći tip je konvergencija srednjeg kvadrata. Kada se koristi SC-konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa svodi se na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.
Posljednja vrsta ostaje, pogledajmo je ukratko kako bismo prešli izravno na rješavanje problema. Konvergencija distribucije ima još jedno ime - "slaba", u nastavku ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim točkama kontinuiteta funkcije granične distribucije.
Obavezno ispunite obećanje: slaba konvergencija se razlikuje od svega gore navedenog po tome što slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer se uvjet formira isključivo korištenjem distribucijskih funkcija.
Zakon velikih brojeva
Izvrsni pomagači u dokazivanju ovog zakona bit će teoremi teorije vjerojatnosti, kao što su:
- Čebiševljeva nejednakost.
- Čebiševljev teorem.
- Uopćeni Čebiševljev teorem.
- Markovljev teorem.
Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetaka listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerojatnosti u praksi. Pozivamo vas da to učinite odmah. Ali prije toga, razmotrimo aksiome teorije vjerojatnosti, oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.
Aksiomi
Prvog smo već upoznali kada smo pričali o nemogućem događaju. Prisjetimo se: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Naveli smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: padao je snijeg na temperaturi zraka od trideset Celzijevih stupnjeva.
Drugi zvuči ovako: pouzdan događaj se događa s vjerojatnošću jednakom jedan. Sada pokažimo kako to napisati matematičkim jezikom: P(B)=1.
Treće: slučajni događaj se može dogoditi ili ne mora, ali mogućnost se uvijek kreće od nule do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veća je šansa; ako se vrijednost približi nuli, vjerojatnost je vrlo mala. Napišimo ovo matematičkim jezikom: 0<R(S)<1.
Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerojatnost zbroja dvaju događaja jednaka je zbroju njihovih vjerojatnosti. Pišemo matematičkim jezikom: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksiomi teorije vjerojatnosti su najjednostavnija pravila koja se lako pamte. Pokušajmo riješiti neke probleme, na temelju već stečenog znanja.
lutrijska karta
Prvo, razmotrite najjednostavniji primjer - lutriju. Zamislite da ste kupili jednu lutriju za sreću. Kolika je vjerojatnost da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u optjecaju sudjeluje tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od petsto rubalja, deset od sto rubalja, pedeset od dvadeset rubalja i sto od pet. Problemi u teoriji vjerojatnosti temelje se na pronalaženju mogućnostisretno. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gore prikazanog zadatka.
Ako slovom A označimo dobitak od petsto rubalja, tada će vjerojatnost dobiti A biti 0,001. Kako smo ga dobili? Samo trebate podijeliti broj "sretnih" ulaznica s njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).
B je dobitak od sto rubalja, vjerojatnost će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)
C - dobici su jednaki dvadeset rubalja. Pronađite vjerojatnost, jednaka je 0,05.
Ostale ulaznice nas ne zanimaju jer je njihov nagradni fond manji od onog navedenog u uvjetu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerojatnost dobitka od najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerojatnost nastanka ovog događaja, već smo ih pronašli u prethodnim koracima. Ostaje samo dodati potrebne podatke, u odgovoru dobivamo 0, 061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.
Špil karata
Problemi teorije vjerojatnosti mogu biti složeniji, na primjer, uzmite sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset i šest karata. Vaš zadatak je izvući dvije karte zaredom bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.
Prvo, pronađimo vjerojatnost da će prva karta biti as, za to podijelimo četiri sa trideset i šest. Ostavili su to sa strane. Vadimo drugu kartu, bit će to as s vjerojatnošću od tri trideset petine. Vjerojatnost drugog događaja ovisi o tome koju smo kartu prvu izvukli, zanima nasje li to bio as ili ne. Iz toga slijedi da događaj B ovisi o događaju A.
Sljedeći korak je pronaći vjerojatnost simultane implementacije, odnosno množimo A i B. Njihov proizvod se nalazi na sljedeći način: vjerojatnost jednog događaja množi se s uvjetnom vjerojatnošću drugog, što izračunavamo, pod pretpostavkom da se dogodio prvi događaj, odnosno da smo s prvom kartom izvukli asa.
Kako bi sve bilo jasno, označimo takav element kao uvjetna vjerojatnost događaja. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se kako slijedi: P(B/A).
Nastavite rješavati naš problem: P(AB)=P(A)P(B/A) ili P (AB)=P(B)P(A/B). Vjerojatnost je (4/36)((3/35)/(4/36). Izračunajte zaokruživanjem na stotinke. Imamo: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Vjerojatnost da izvučemo dva asa zaredom je devet stotinki Vrijednost je vrlo mala, iz toga proizlazi da je vjerojatnost nastanka događaja izuzetno mala.
Zaboravljeni broj
Predlažemo da analiziramo još nekoliko opcija za zadatke koje proučava teorija vjerojatnosti. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku, pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio posljednju znamenku telefonskog broja svog prijatelja, ali budući da je poziv bio vrlo važan, počeo je birati sve redom. Moramo izračunati vjerojatnost da će nazvati najviše tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerojatnosti.
Prije gledanjarješenje, pokušajte ga riješiti sami. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno ukupno ima deset vrijednosti. Vjerojatnost da ćete dobiti pravu je 1/10.
Dalje, trebamo razmotriti opcije za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio ispravno i odmah postigao pravi, vjerojatnost takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv je promašaj, a drugi je na meti. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: pomnožimo 9/10 s 1/9, kao rezultat dobivamo i 1/10. Treća opcija: pokazalo se da su prvi i drugi poziv bili na krivoj adresi, tek od trećeg dječak je stigao kamo je htio. Izračunavamo vjerojatnost takvog događaja: množimo 9/10 s 8/9 i s 1/8, kao rezultat dobivamo 1/10. Prema stanju zadatka druge opcije nas ne zanimaju, pa nam ostaje da zbrojimo rezultate, kao rezultat imamo 3/10. Odgovor: Vjerojatnost da dječak ne nazove više od tri puta je 0,3.
Kartice s brojevima
Pred vama je devet karata, na svakoj je ispisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavljeni su u kutiju i temeljito izmiješani. Morate izračunati vjerojatnost da
- pojavit će se paran broj;
- dvije znamenke.
Prije prelaska na rješenje, odredimo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađite vjerojatnost da je broj paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, ovo će biti naš m, ukupno je devet opcija, odnosno m=9. Zatim vjerojatnostjednako 0, 44 ili 4/9.
Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a uspješnih ishoda uopće ne može biti, to jest, m je jednako nuli. Vjerojatnost da će izvučena karta sadržavati dvoznamenkasti broj je također nula.
