Proučavanje teorije vjerojatnosti počinje rješavanjem problema zbrajanja i množenja vjerojatnosti. Vrijedi odmah spomenuti da prilikom svladavanja ovog područja znanja student može naići na problem: ako se fizički ili kemijski procesi mogu vizualno prikazati i empirijski razumjeti, tada je razina matematičke apstrakcije vrlo visoka, a razumijevanje ovdje dolazi samo s iskustvo.
Međutim, igra je vrijedna svijeće, jer formule - koje se razmatraju u ovom članku i one složenije - danas se koriste posvuda i mogu biti korisne u radu.
Porijeklo
Začudo, poticaj za razvoj ovog odjeljka matematike bilo je … kockanje. Doista, kockice, bacanje novčića, poker, rulet tipični su primjeri koji koriste zbrajanje i množenje vjerojatnosti. Na primjeru zadataka u bilo kojem udžbeniku to se jasno vidi. Ljudi su bili zainteresirani naučiti kako povećati svoje šanse za pobjedu, i moram reći da su neki u tome uspjeli.
Na primjer, već u 21. stoljeću jedna osoba čije ime nećemo otkrivati,koristio je ovo znanje skupljeno stoljećima kako bi doslovno "očistio" kasino, osvojivši nekoliko desetaka milijuna dolara na ruletu.
Međutim, unatoč povećanom interesu za tu temu, tek u 20. stoljeću razvijen je teorijski okvir koji je "teorvera" učinio punopravnom komponentom matematike. Danas, u gotovo svakoj znanosti, možete pronaći izračune pomoću probabilističkih metoda.
Primjenjivost
Važna točka pri korištenju formula zbrajanja i množenja vjerojatnosti, uvjetna vjerojatnost je zadovoljivost središnjeg graničnog teorema. U suprotnom, iako to učenik možda neće shvatiti, svi izračuni, ma koliko vjerojatni izgledali, bit će netočni.
Da, visoko motivirani učenik je u iskušenju da koristi novo znanje u svakoj prilici. Ali u ovom slučaju treba malo usporiti i strogo ocrtati opseg primjenjivosti.
Teorija vjerojatnosti bavi se slučajnim događajima, koji su u empirijskom smislu rezultati eksperimenata: možemo baciti šesterostranu kocku, izvući kartu iz špila, predvidjeti broj neispravnih dijelova u seriji. Međutim, u nekim je pitanjima kategorički nemoguće koristiti formule iz ovog odjeljka matematike. O značajkama razmatranja vjerojatnosti događaja, teoremama zbrajanja i množenja događaja raspravljat ćemo na kraju članka, ali za sada se okrenimo primjerima.
Osnovni koncepti
Slučajni događaj znači neki proces ili rezultat koji se može pojaviti ili ne morakao rezultat eksperimenta. Na primjer, bacimo sendvič - može pasti maslac gore ili maslac dolje. Bilo koji od dva ishoda bit će nasumičan, a ne znamo unaprijed koji će se od njih dogoditi.
Kada proučavamo zbrajanje i množenje vjerojatnosti, potrebna su nam još dva koncepta.
Zajednički događaji su oni događaji od kojih pojava jednog ne isključuje pojavu drugog. Recimo da dvije osobe pucaju u metu u isto vrijeme. Ako jedan od njih ispali uspješan hitac, to neće utjecati na sposobnost drugog da pogodi ili promaši.
Nedosljedni će biti takvi događaji, čija je pojava istovremeno nemoguća. Na primjer, izvlačenjem samo jedne lopte iz kutije, ne možete dobiti i plavu i crvenu odjednom.
Oznaka
Koncept vjerojatnosti označen je latinskim velikim slovom P. Sljedeći u zagradama su argumenti koji označavaju neke događaje.
U formulama teorema zbrajanja, uvjetne vjerojatnosti, teorema množenja vidjet ćete izraze u zagradama, na primjer: A+B, AB ili A|B. Oni će se izračunavati na razne načine, sada ćemo se obratiti na njih.
Dodatak
Razmotrimo slučajeve u kojima se koriste formule za zbrajanje i množenje.
Za nekompatibilne događaje relevantna je najjednostavnija formula za zbrajanje: vjerojatnost bilo kojeg od slučajnih ishoda bit će jednaka zbroju vjerojatnosti svakog od ovih ishoda.
Pretpostavimo da postoji kutija s 2 plava, 3 crvena i 5 žutih balona. U kutiji je ukupno 10 artikala. Koliki je postotak istinitosti tvrdnje da ćemo izvući plavu ili crvenu kuglicu? Bit će jednako 2/10 + 3/10, tj. pedeset posto.
U slučaju nespojivih događaja, formula postaje složenija jer se dodaje dodatni izraz. Vratit ćemo se na to u jednom odlomku, nakon što razmotrimo još jednu formulu.
Množenje
Zbrajanje i množenje vjerojatnosti neovisnih događaja koriste se u različitim slučajevima. Ako smo, prema uvjetu pokusa, zadovoljni s bilo kojim od dva moguća ishoda, izračunat ćemo zbroj; ako želimo dobiti dva određena ishoda jedan za drugim, pribjeći ćemo drugoj formuli.
Vraćajući se na primjer iz prethodnog odjeljka, želimo prvo nacrtati plavu kuglu, a zatim crvenu. Prvi broj koji poznajemo je 2/10. Što se dalje događa? Ostalo je 9 loptica, crvenih je još isti broj - tri komada. Prema izračunima, dobivate 3/9 ili 1/3. Ali što sada učiniti s dva broja? Točan odgovor je množiti da biste dobili 2/30.
Zajednički događaji
Sada možemo ponovno pogledati formulu zbroja za zajedničke događaje. Zašto skrećemo s teme? Naučiti kako se množe vjerojatnosti. Sada će ovo znanje dobro doći.
Već znamo koja će biti prva dva člana (isto kao u prethodnoj formuli za zbrajanje), sada moramo oduzetiumnožak vjerojatnosti koji smo upravo naučili izračunati. Radi jasnoće, pišemo formulu: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ispada da se i zbrajanje i množenje vjerojatnosti koriste u jednom izrazu.
Recimo da moramo riješiti bilo koji od dva problema da bismo dobili kredit. Prvi možemo riješiti s vjerojatnošću od 0,3, a drugi - 0,6 Rješenje: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Imajte na umu da jednostavno zbrajanje brojeva ovdje neće biti dovoljno.
Uvjetna vjerojatnost
Konačno, postoji koncept uvjetne vjerojatnosti, čiji su argumenti naznačeni u zagradama i odvojeni okomitom crtom. Unos P(A|B) glasi kako slijedi: “vjerojatnost događaja A danog događaja B”.
Pogledajmo primjer: prijatelj ti daje neki uređaj, neka to bude telefon. Može biti pokvaren (20%) ili dobar (80%). U mogućnosti ste popraviti bilo koji uređaj koji vam padne u ruke s vjerojatnošću od 0,4 ili niste u mogućnosti to učiniti (0,6). Konačno, ako je uređaj u ispravnom stanju, možete doći do prave osobe s vjerojatnošću od 0,7.
Lako je vidjeti kako uvjetna vjerojatnost funkcionira u ovom slučaju: ne možete doći do osobe ako je telefon pokvaren, a ako je dobar, ne morate ga popravljati. Dakle, da biste dobili bilo kakve rezultate na "drugoj razini", morate znati koji je događaj izvršen na prvoj.
Izračuni
Razmotrimo primjere rješavanja zadataka na zbrajanje i množenje vjerojatnosti, koristeći podatke iz prethodnog odlomka.
Prvo, pronađimo vjerojatnost da vipopravite uređaj koji ste dobili. Da biste to učinili, prvo, mora biti neispravan, a drugo, morate se nositi s popravkom. Ovo je tipičan problem množenja: dobivamo 0,20,4=0,08.
Kolika je vjerojatnost da ćete odmah doći do prave osobe? Lakše nego jednostavno: 0,80,7=0,56. U ovom slučaju, ustanovili ste da telefon radi i uspješno ste uputili poziv.
Konačno, razmislite o ovom scenariju: primili ste pokvaren telefon, popravili ga, zatim birali broj, a osoba na suprotnoj strani javila se na telefon. Ovdje je već potrebno množenje triju komponenti: 0, 20, 40, 7=0, 056.
A što ako imate dva neispravna telefona odjednom? Koliko je vjerojatno da ćete popraviti barem jedan od njih? To je problem zbrajanja i množenja vjerojatnosti, budući da se koriste zajednički događaji. Rješenje: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Pažljiva upotreba
Kao što je spomenuto na početku članka, korištenje teorije vjerojatnosti treba biti namjerno i svjesno.
Što je veći niz eksperimenata, to se teoretski predviđena vrijednost bliže približava praktičnoj. Na primjer, bacamo novčić. Teoretski, znajući za postojanje formula za zbrajanje i množenje vjerojatnosti, možemo predvidjeti koliko će puta ispasti glava i rep ako pokus provedemo 10 puta. Napravili smo eksperiment iSlučajno, omjer ispuštenih strana bio je 3 prema 7. Ali ako provedete seriju od 100, 1000 ili više pokušaja, ispada da se graf distribucije sve više približava teoretskom: 44 prema 56, 482 do 518 i tako dalje.
Zamislite sada da se ovaj eksperiment ne provodi s novčićem, već s proizvodnjom neke nove kemijske tvari, čiju vjerojatnost ne znamo. Proveli bismo 10 pokusa i, ako ne bismo dobili uspješan rezultat, mogli bismo generalizirati: "tvar se ne može dobiti." Ali tko zna, da smo napravili jedanaesti pokušaj, bismo li postigli cilj ili ne?
Dakle, ako idete u nepoznato, neistraženo područje, teorija vjerojatnosti možda neće vrijediti. Svaki sljedeći pokušaj u ovom slučaju može biti uspješan i generalizacije poput "X ne postoji" ili "X je nemoguće" bit će preuranjene.
Završna riječ
Pa smo pogledali dvije vrste zbrajanja, množenje i uvjetne vjerojatnosti. Daljnjim proučavanjem ovog područja potrebno je naučiti razlikovati situacije kada se koristi svaka konkretna formula. Osim toga, morate razumjeti jesu li probabilističke metode općenito primjenjive na rješavanje vašeg problema.
Ako vježbate, nakon nekog vremena počet ćete izvoditi sve potrebne operacije isključivo u svom umu. Za one koji vole kartaške igre, ova se vještina može uzeti u obziriznimno vrijedan - značajno ćete povećati svoje šanse za pobjedu, samo izračunavanjem vjerojatnosti ispadanja određene karte ili boje. Međutim, stečeno znanje se lako može primijeniti u drugim područjima djelovanja.
