Funkcije diferencijalnog računa jedne i više varijabli

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Račun je grana računa koja proučava derivaciju, diferencijale i njihovu upotrebu u proučavanju funkcije.

Povijest izgleda

Diferencijalni račun nastao je kao samostalna disciplina u drugoj polovici 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji su formulirali osnovne odredbe u računu diferencijala i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od tog trenutka, disciplina se razvija zajedno s računom integrala, čineći tako temelj matematičke analize. Pojava ovih računa otvorila je novo moderno razdoblje u matematičkom svijetu i izazvala pojavu novih disciplina u znanosti. Također je proširena mogućnost primjene matematičke znanosti u prirodnim znanostima i tehnologiji.

Osnovni koncepti

Diferencijalni račun temelji se na temeljnim konceptima matematike. To su: realni broj, kontinuitet, funkcija i granica. S vremenom su poprimili moderan izgled, zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Proces stvaranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku primijenjene, a potom i znanstvene metode dogodilo se prije pojave filozofske teorije, koju je stvorio Nikola Kuzanski. Njegova se djela smatraju evolucijskim razvojem na temelju prosudbi antičke znanosti. Unatoč činjenici da sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičke znanosti je neporeciv. Kuzansky je bio jedan od prvih koji je odmaknuo od razmatranja aritmetike kao najtočnijeg područja znanosti, dovodeći matematiku tog vremena u sumnju.

Drevni matematičari koristili su jedinicu kao univerzalni kriterij, dok je filozof predložio beskonačnost kao novu mjeru umjesto točnog broja. U tom smislu, prikaz preciznosti u matematičkoj znanosti je obrnut. Znanstveno znanje, prema njemu, dijeli se na racionalno i intelektualno. Drugi je točniji, smatra znanstvenik, jer prvi daje samo približan rezultat.

Ideja

Glavna ideja i koncept u diferencijalnom računu je povezan s funkcijom u malim četvrtima određenih točaka. Za to je potrebno izraditi matematički aparat za proučavanje funkcije čije je ponašanje u malom susjedstvu utvrđenih točaka blisko ponašanju polinoma ili linearne funkcije. To se temelji na definiciji derivacije i diferencijala.

Pojavu pojma izvedenice uzrokovao je veliki broj problema iz prirodnih znanosti i matematike,što je dovelo do pronalaženja vrijednosti granica iste vrste.

Jedan od glavnih problema koji se daju kao primjer počevši od srednje škole je odrediti brzinu točke koja se kreće duž ravne crte i konstruirati tangentu na ovu krivulju. Diferencijal je povezan s tim, budući da je moguće aproksimirati funkciju u malom susjedstvu razmatrane točke linearne funkcije.

U usporedbi s konceptom derivacije funkcije realne varijable, definicija diferencijala jednostavno prelazi na funkciju opće prirode, posebno na sliku jednog euklidskog prostora na drugom.

Izvod

Neka se točka pomiče u smjeru osi Oy, za vrijeme koje uzimamo x, koje se računa od određenog početka trenutka. Takvo kretanje može se opisati funkcijom y=f(x), koja je dodijeljena svakom vremenskom trenutku x koordinate točke koja se pomiče. U mehanici se ova funkcija naziva zakonom gibanja. Glavna karakteristika kretanja, osobito neravnomjernog, je trenutna brzina. Kada se točka pomiče duž osi Oy prema zakonu mehanike, tada u slučajnom trenutku x dobiva koordinatu f (x). U trenutku vremena x + Δx, gdje Δx označava prirast vremena, njegova će koordinata biti f(x + Δx). Tako se formira formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koja se naziva prirastom funkcije. Predstavlja put koji prolazi točka u vremenu od x do x + Δx.

Zbog pojave ovogabrzina u vremenu, uvodi se derivacija. U proizvoljnoj funkciji derivacija u fiksnoj točki naziva se granica (pod pretpostavkom da postoji). Može se označiti određenim simbolima:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces izračunavanja izvedenice naziva se diferencijacija.

Diferencijalni račun funkcije nekoliko varijabli

Ova metoda računanja koristi se kada se ispituje funkcija s nekoliko varijabli. U prisutnosti dvije varijable x i y, djelomični izvod s obzirom na x u točki A naziva se derivacija ove funkcije s obzirom na x s fiksnim y.

Može se predstaviti sljedećim znakovima:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x ili ∂f(x, y)’/∂x.

Potrebne vještine

Vještine integracije i diferencijacije potrebne su za uspješno proučavanje i sposobnost rješavanja difuzije. Da biste lakše razumjeli diferencijalne jednadžbe, trebali biste dobro razumjeti temu derivacije i neodređenog integrala. Također ne škodi naučiti kako pronaći derivaciju implicitno zadane funkcije. To je zbog činjenice da će se u procesu proučavanja integrala i diferencijacije često morati koristiti.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

U gotovo svim testnim radovima koji se odnose na diferencijalne jednadžbe prvog reda, postoje 3 vrste jednadžbi: homogene, s odvojivim varijablama, linearne nehomogene.

Postoje i rjeđe varijante jednadžbi: s totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednadžbe i druge.

Osnove odlučivanja

Prvo, trebali biste se sjetiti algebarskih jednadžbi iz školskog tečaja. Sadrže varijable i brojeve. Da biste riješili običnu jednadžbu, morate pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju zadani uvjet. U pravilu su takve jednadžbe imale jedan korijen, a za provjeru ispravnosti trebalo je samo zamijeniti ovu vrijednost nepoznatom.

Diferencijalna jednadžba je slična ovoj. Općenito, takva jednadžba prvog reda uključuje:

• Nezavisna varijabla.
• Izvod prve funkcije.
• Funkcija ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima može nedostajati jedna od nepoznanica, x ili y, ali to nije toliko važno, jer je prisutnost prve derivacije, bez izvodnica višeg reda, neophodna za rješenje i diferencijal računica je točna.

Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći skup svih funkcija koje odgovaraju zadanom izrazu. Takav skup funkcija često se naziva općim rješenjem DE.

Integralni račun

Integralni račun je jedan od odjeljaka matematičke analize koji proučava koncept integrala, svojstva i metode njegovog izračuna.

Često se izračunavanje integrala događa kada se izračunava površina krivolinijske figure. Ovo područje znači granicu kojoj teži površina poligona upisanog u danu figuru s postupnim povećanjem njegove stranice, dok se te stranice mogu učiniti manje od bilo koje prethodno određene proizvoljnemala vrijednost.

Glavna ideja u izračunavanju površine proizvoljnog geometrijskog lika je izračunati površinu pravokutnika, odnosno dokazati da je njegova površina jednaka umnošku duljine i širine. Kada je riječ o geometriji, sve konstrukcije se izrađuju pomoću ravnala i šestara, a onda je omjer duljine i širine racionalna vrijednost. Prilikom izračunavanja površine pravokutnog trokuta, možete odrediti da ako stavite isti trokut pored njega, tada se formira pravokutnik. U paralelogramu se površina izračunava sličnom, ali malo kompliciranijom metodom, kroz pravokutnik i trokut. U poligonima, površina se izračunava kroz trokute koji su u njemu uključeni.

Pri određivanju poštede proizvoljne krivulje, ova metoda neće raditi. Ako ga razbijete na pojedinačne kvadrate, tada će biti nepopunjenih mjesta. U ovom slučaju, pokušava se koristiti dva omota, s pravokutnicima na vrhu i dnu, kao rezultat toga, one uključuju graf funkcije, a ne. Ovdje ostaje važan način podjele na ove pravokutnike. Također, ako uzmemo sve manje particije, tada bi područje iznad i ispod trebale konvergirati na određenoj vrijednosti.

Trebalo bi se vratiti na metodu podjele na pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirao definiciju integrala koju su kreirali Leibniz i Newton kao područje podgrafa. U ovom slučaju su razmatrane figure koje se sastoje od određenog broja okomitih pravokutnika i dobivene dijeljenjemsegment. Kada, kako se razdioba smanjuje, postoji granica na koju se smanjuje površina slične figure, ta se granica naziva Riemannovim integralom funkcije na danom intervalu.

Druga metoda je konstrukcija Lebesgueovog integrala, koja se sastoji u tome da se za mjesto dijeljenja definirane površine na dijelove integranda sastavlja integralni zbroj od vrijednosti dobivenih u tim dijelovima, njegov raspon vrijednosti podijeljen je u intervale, a zatim se zbraja s odgovarajućim mjerama predslika ovih integrala.

Moderne pogodnosti

Jedan od glavnih priručnika za proučavanje diferencijalnog i integralnog računa napisao je Fikhtengolts - "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa". Njegov je udžbenik temeljni vodič za proučavanje matematičke analize, koji je doživio mnoga izdanja i prijevode na druge jezike. Napravljen za studente i dugo se koristi u mnogim obrazovnim ustanovama kao jedno od glavnih pomagala u učenju. Daje teorijske podatke i praktične vještine. Prvi put objavljeno 1948.

Algoritam za istraživanje funkcija

Da biste istražili funkciju pomoću metoda diferencijalnog računa, morate slijediti već zadani algoritam:

1. Pronađi opseg funkcije.
2. Pronađi korijene dane jednadžbe.
3. Izračunajte ekstreme. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju i točke u kojima je jednaka nuli.
4. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u jednadžbu.

Različitosti diferencijalnih jednadžbi

kontrola prvog reda (inače, diferencijalračun jedne varijable) i njihove vrste:

• Odvojiva jednadžba: f(y)dy=g(x)dx.
• Najjednostavnije jednadžbe, ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, koji imaju formulu: y'=f(x).
• Linearni nehomogeni DE prvog reda: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Jednadžba s ukupnim diferencijalima: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihove vrste:

• Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim vrijednostima koeficijenta: y +py'+qy=0 p, q pripada R.
• Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima: y +py'+qy=f(x).
• Linearna homogena diferencijalna jednadžba: y +p(x)y'+q(x)y=0, i nehomogena jednadžba drugog reda: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Diferencijalne jednadžbe višeg reda i njihove vrste:

• Diferencijalna jednadžba koja se može reducirati redoslijedom: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Linearna homogena jednadžba višeg reda: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, i nehomogeno: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Koraci u rješavanju problema s diferencijalnom jednadžbom

Uz pomoć daljinskog upravljača rješavaju se ne samo matematička ili fizička pitanja, već i razni problemi izbiologija, ekonomija, sociologija itd. Unatoč velikoj raznolikosti tema, pri rješavanju takvih problema treba se pridržavati jednog logičkog slijeda:

1. Kompilacija daljinskog upravljača. Jedan od najtežih koraka koji zahtijeva maksimalnu preciznost, jer će svaka pogreška dovesti do potpuno pogrešnih rezultata. Treba uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na proces i odrediti početne uvjete. Također bi se trebao temeljiti na činjenicama i logičnim zaključcima.
2. Rješenje formulirane jednadžbe. Ovaj proces je jednostavniji od prvog koraka, jer zahtijeva samo stroge matematičke izračune.
3. Analiza i evaluacija rezultata. Izvedeno rješenje treba procijeniti kako bi se utvrdila praktična i teoretska vrijednost rezultata.

Primjer korištenja diferencijalnih jednadžbi u medicini

Upotreba daljinskog upravljanja u području medicine javlja se prilikom izgradnje epidemiološkog matematičkog modela. Pritom ne treba zaboraviti da se ove jednadžbe nalaze i u biologiji i kemiji, koje su bliske medicini, jer proučavanje različitih bioloških populacija i kemijskih procesa u ljudskom tijelu igra važnu ulogu u tome.

U gornjem primjeru epidemije, možemo razmotriti širenje infekcije u izoliranom društvu. Stanovnici su podijeljeni u tri tipa:

• Zaraženi, broj x(t), koji se sastoje od pojedinaca, nositelja infekcije, od kojih je svaki zarazan (razdoblje inkubacije je kratko).
• Druga vrsta uključujeosjetljive osobe y(t) koje se mogu zaraziti kontaktom sa zaraženim osobama.
• Treća vrsta uključuje imune pojedince z(t) koji su imuni ili su umrli zbog bolesti.

Broj pojedinaca je konstantan, ne uzimaju se u obzir rođenja, prirodne smrti i migracije. Bit će dvije hipoteze u srži.

Postotak incidencije u određenoj vremenskoj točki je x(t)y(t) (zasnovan na teoriji da je broj slučajeva proporcionalan broju križanja između oboljelih i osjetljivih predstavnika, koji u prvom aproksimacija će biti proporcionalna x(t)y(t)), s tim u vezi, broj slučajeva raste, a broj osjetljivih opada brzinom koja se izračunava formulom ax(t)y(t) (a > 0).

Broj imunih pojedinaca koji su postali imuni ili umrli raste brzinom koja je proporcionalna broju slučajeva, bx(t) (b > 0).

Kao rezultat, možete napraviti sustav jednadžbi uzimajući u obzir sva tri pokazatelja i na temelju toga izvući zaključke.

Primjer ekonomije

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak u ekonomskoj analizi je proučavanje veličina iz ekonomije, koje se zapisuju u obliku funkcije. To se koristi kod rješavanja problema kao što su promjena dohotka neposredno nakon povećanja poreza, uvođenje carina, promjena prihoda poduzeća kada se promijeni trošak proizvodnje, u kojem omjeru se umirovljeni radnici mogu zamijeniti novom opremom. Za rješavanje takvih problema potrebno jeizgraditi funkciju veze od ulaznih varijabli, koje se zatim proučavaju pomoću diferencijalnog računa.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije pokazatelje: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najniže troškove i tako dalje. Svaki takav pokazatelj je funkcija jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može promatrati kao funkcija rada i inputa kapitala. U tom smislu, pronalaženje prikladne vrijednosti može se svesti na pronalaženje maksimuma ili minimuma funkcije iz jedne ili više varijabli.

Problemi ove vrste stvaraju klasu ekstremnih problema u ekonomskom području, za čije je rješenje potreban diferencijalni račun. Kada je ekonomski pokazatelj potrebno minimizirati ili maksimizirati kao funkciju drugog pokazatelja, tada će u točki maksimuma omjer prirasta funkcije i argumenata težiti nuli ako prirast argumenta teži nuli. Inače, kada takav omjer teži nekoj pozitivnoj ili negativnoj vrijednosti, navedena točka nije prikladna, jer povećanjem ili smanjenjem argumenta možete promijeniti zavisnu vrijednost u traženom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računa, to će značiti da je traženi uvjet za maksimum funkcije nulta vrijednost njezine derivacije.

U ekonomiji često postoje problemi s pronalaženjem ekstrema funkcije s nekoliko varijabli, jer su ekonomski pokazatelji sastavljeni od mnogo čimbenika. Ovakva pitanja su dobra.proučavao teoriju funkcija više varijabli, primjenjujući metode diferencijalnog izračuna. Takvi problemi ne uključuju samo maksimizirane i minimizirane funkcije, već i ograničenja. Takva su pitanja vezana uz matematičko programiranje, a rješavaju se uz pomoć posebno razvijenih metoda, također temeljenih na ovoj grani znanosti.

Među metodama diferencijalnog računa koje se koriste u ekonomiji, važan dio je marginalna analiza. U ekonomskoj sferi, ovaj se pojam odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih pokazatelja i rezultata pri promjeni obujma stvaranja, potrošnje, na temelju analize njihovih marginalnih pokazatelja. Ograničavajući pokazatelj je izvedenica ili djelomični derivati s nekoliko varijabli.

Diferencijalni račun nekoliko varijabli važna je tema u području matematičke analize. Za detaljan studij možete koristiti razne udžbenike za visoko obrazovanje. Jedan od najpoznatijih stvorio je Fikhtengolts - "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa". Kao što naziv govori, vještine rada s integralima od velike su važnosti za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Kada se izvede diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, valja napomenuti, podliježe istim osnovnim pravilima. Da bi se funkcija u praksi proučavala diferencijalnim računom, dovoljno je slijediti već postojeći algoritam koji je zadan u srednjoj školi i tek se malo komplicira kada se uvedu novi.varijable.