Pojava koncepta integrala nastala je zbog potrebe pronalaženja antiderivativne funkcije po njezinoj derivaciji, kao i određivanja količine rada, površine kompleksnih figura, prijeđene udaljenosti, s parametri ocrtani krivuljama opisanim nelinearnim formulama.
Sa tečaja
a fizika zna da je rad jednak umnošku sile i udaljenosti. Ako se sva kretanja odvijaju konstantnom brzinom ili se udaljenost prevlada primjenom iste sile, onda je sve jasno, samo ih trebate pomnožiti. Što je integral konstante? Ovo je linearna funkcija oblika y=kx+c.
Ali sila se tijekom rada može promijeniti, i to u nekoj vrsti prirodne ovisnosti. Ista se situacija događa s izračunom prijeđene udaljenosti ako brzina nije konstantna.
Dakle, jasno je čemu služi integral. Njegova definicija kao zbroj proizvoda vrijednosti funkcije beskonačno malim povećanjem argumenta u potpunosti opisuje glavno značenje ovog koncepta kao područje figure omeđenog odozgo linijom funkcije i na rubove po granicama definicije.
Jean Gaston Darboux, francuski matematičar, u drugoj polovici XIX.stoljeća vrlo jasno objasnio što je integral. Toliko je jasno dao do znanja da općenito ne bi bilo teško ni učeniku srednje škole razumjeti ovo pitanje.
Recimo da postoji funkcija bilo kojeg složenog oblika. Y-os, na kojoj su iscrtane vrijednosti argumenta, podijeljena je na male intervale, idealno bi bilo da su beskonačno mali, ali budući da je koncept beskonačnosti prilično apstraktan, dovoljno je zamisliti samo male segmente, vrijednost od kojih se obično označava grčkim slovom Δ (delta).
ispostavilo se da je funkcija "izrezana" u male cigle.
Svaka vrijednost argumenta odgovara točki na y-osi, na kojoj su iscrtane odgovarajuće vrijednosti funkcije. No budući da odabrano područje ima dvije granice, bit će i dvije vrijednosti funkcije, više i manje.
Zbroj proizvoda većih vrijednosti prirastom Δ naziva se velikim Darbouxovim zbrojem i označava se kao S. Prema tome, manje vrijednosti u ograničenom području, pomnožene s Δ, sve zajedno čine mali Darbouxov zbroj s. Sam presjek podsjeća na pravokutni trapez, budući da se zakrivljenost linije funkcije s njezinim beskonačno malim prirastom može zanemariti. Najlakši način za pronalaženje površine takvog geometrijskog lika je zbrajanje proizvoda veće i manje vrijednosti funkcije s Δ-prirastom i dijeljenje s dva, odnosno odrediti ga kao aritmetičku sredinu.
Ovo je Darbouxov integral:
s=Σf(x) Δ je mali iznos;
S=Σf(x+Δ)Δ je veliki zbroj.
Pa što je integral? Područje ograničeno funkcionalnom linijom i granicama definicije bit će:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
To jest, aritmetička sredina velikih i malih Darbouxovih zbroja.c je konstantna vrijednost koja se postavlja na nulu tijekom diferencijacije.
Na temelju geometrijskog izraza ovog koncepta, fizičko značenje integrala postaje jasno. Područje figure, ocrtano funkcijom brzine i ograničeno vremenskim intervalom duž osi apscise, bit će duljina prijeđenog puta.
L=∫f(x)dx na intervalu od t1 do t2, Gdje
f(x) – funkcija brzine, odnosno formula po kojoj se mijenja tijekom vremena;
L – duljina puta;
t1 – vrijeme početka;
t2 – vrijeme završetka putovanja.
Točno prema istom principu određuje se količina rada, samo će se udaljenost iscrtati duž apscise, a količina sile primijenjene u svakoj pojedinoj točki bit će prikazana duž ordinate.
