Važan koncept u matematici je funkcija. Uz njegovu pomoć, možete vizualizirati mnoge procese koji se događaju u prirodi, odražavati odnos između određenih količina pomoću formula, tablica i slika na grafikonu. Primjer je ovisnost tlaka sloja tekućine na tijelo o dubini uranjanja, ubrzanja - o djelovanju određene sile na predmet, porasta temperature - o prenesenoj energiji i mnogim drugim procesima. Proučavanje funkcije uključuje izgradnju grafa, pojašnjenje njegovih svojstava, opsega i vrijednosti, intervala povećanja i smanjenja. Važna točka u ovom procesu je pronalaženje točaka ekstrema. O tome kako to učiniti ispravno, a razgovor će se nastaviti.
O samom konceptu na konkretnom primjeru
U medicini, crtanje grafa funkcije može reći o napredovanju bolesti u tijelu pacijenta, vizualno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da je vrijeme u danima iscrtano duž osi OX, a temperatura ljudskog tijela duž osi OY. Slika jasno pokazuje kako ovaj pokazatelj naglo raste, ionda pada. Također je lako uočiti singularne točke koje odražavaju trenutke kada se funkcija, nakon što se prethodno povećala, počinje smanjivati i obrnuto. To su ekstremne točke, odnosno kritične vrijednosti (maksimalne i minimalne) u ovom slučaju pacijentove temperature, nakon čega dolazi do promjena u njegovom stanju.
Ugao nagiba
Iz slike je lako odrediti kako se derivacija funkcije mijenja. Ako se ravne linije grafa s vremenom povećavaju, onda je pozitivan. I što su strmiji, to je veća vrijednost derivacije, kako se kut nagiba povećava. Tijekom razdoblja pada, ova vrijednost poprima negativne vrijednosti, okrećući se na nulu u točkama ekstrema, a graf derivacije u potonjem slučaju se crta paralelno s osi OX.
Svaki drugi proces treba tretirati na isti način. Ali najbolja stvar u ovom konceptu može reći kretanje različitih tijela, jasno prikazano na grafikonima.
Pokret
Pretpostavimo da se neki objekt kreće pravocrtno, ravnomjerno dobivajući brzinu. U tom razdoblju promjena koordinata tijela grafički predstavlja određenu krivulju, koju bi matematičar nazvao granom parabole. Istodobno, funkcija se stalno povećava, jer se koordinatni pokazatelji mijenjaju sve brže i brže svake sekunde. Grafikon brzine prikazuje ponašanje izvedenice čija se vrijednost također povećava. To znači da pokret nema kritične točke.
To bi se nastavilo u nedogled. Ali ako tijelo iznenada odluči usporiti, zaustavite se i počnite se kretati u drugomsmjer? U tom će se slučaju koordinatni pokazatelji početi smanjivati. A funkcija će proći kritičnu vrijednost i preći iz povećanja u opadajuću.
U ovom primjeru opet možete razumjeti da se točke ekstrema na grafu funkcije pojavljuju u trenucima kada on prestane biti monoton.
Fizičko značenje izvedenice
Ranije opisano jasno je pokazalo da je derivacija u biti stopa promjene funkcije. Ova profinjenost sadrži svoje fizičko značenje. Ekstremne točke su kritična područja na grafikonu. Moguće ih je saznati i otkriti izračunavanjem vrijednosti izvedenice koja se ispostavi da je jednaka nuli.
Postoji još jedan znak, koji je dovoljan uvjet za ekstrem. Izvod na takvim mjestima fleksije mijenja svoj predznak: od "+" do "-" u području maksimuma i od "-" do "+" u području minimuma.
Kretanje pod utjecajem gravitacije
Zamislimo drugu situaciju. Djeca su je, igrajući se loptom, bacila na takav način da se počela kretati pod kutom prema horizontu. U početnom trenutku brzina ovog objekta bila je najveća, ali je pod utjecajem gravitacije počela opadati, i to sa svakom sekundom za istu vrijednost, jednaku otprilike 9,8 m/s2. To je vrijednost akceleracije koja nastaje pod utjecajem zemljine gravitacije tijekom slobodnog pada. Na Mjesecu bi bio oko šest puta manji.
Grafikon koji opisuje kretanje tijela je parabola s granama,prema dolje. Kako pronaći ekstremne točke? U ovom slučaju, to je vrh funkcije, gdje brzina tijela (kuglice) poprima nultu vrijednost. Izvod funkcije postaje nula. U tom se slučaju smjer, a time i vrijednost brzine, mijenja u suprotno. Tijelo leti dolje sa svakom sekundom sve brže i brže, a ubrzava za istu količinu - 9,8 m/s2.
Druga izvedenica
U prethodnom slučaju, graf modula brzine je nacrtan kao ravna crta. Ova linija je najprije usmjerena prema dolje, budući da se vrijednost ove količine stalno smanjuje. Kada dosegnu nulu u jednom od vremenskih točaka, tada se pokazatelji ove vrijednosti počinju povećavati, a smjer grafičkog prikaza modula brzine dramatično se mijenja. Linija sada pokazuje prema gore.
Brzina, kao vremenska derivacija koordinate, također ima kritičnu točku. U ovoj regiji funkcija, koja se u početku smanjuje, počinje rasti. Ovo je mjesto točke ekstrema derivacije funkcije. U tom slučaju nagib tangente postaje nula. A ubrzanje, kao druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme, mijenja predznak iz “-” u “+”. A kretanje od ravnomjerno sporog postaje ravnomjerno ubrzano.
Grafikon ubrzanja
Sada razmotrite četiri slike. Svaki od njih prikazuje graf promjene tijekom vremena takve fizičke veličine kao što je ubrzanje. U slučaju "A", njegova vrijednost ostaje pozitivna i konstantna. To znači da se brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno povećava. Ako je azamislite da će se objekt kretati na ovaj način beskonačno dugo, funkcija koja odražava ovisnost koordinate o vremenu će se pokazati stalno rastućom. Iz ovoga proizlazi da nema kritičnih regija. Na grafu derivacije također nema točaka ekstrema, odnosno linearne promjene brzine.
Isto vrijedi i za slučaj "B" s pozitivnim i stalno rastućim ubrzanjem. Istina, dijagrami za koordinate i brzinu ovdje će biti nešto složeniji.
Kada ubrzanje teži nuli
Gledajući sliku "B", možete vidjeti potpuno drugačiju sliku koja karakterizira kretanje tijela. Njegova brzina bit će grafički prikazana kao parabola s granama usmjerenim prema dolje. Ako nastavimo linijom koja opisuje promjenu akceleracije sve dok se ne siječe s osi OX, i dalje, onda možemo zamisliti da će se do ove kritične vrijednosti, gdje se akceleracija ispostavi da je jednaka nuli, brzina objekta povećati sve sporije. Ekstremna točka derivacije koordinatne funkcije bit će tik na vrhu parabole, nakon čega će tijelo radikalno promijeniti prirodu kretanja i početi se kretati u drugom smjeru.
U potonjem slučaju, "G", priroda pokreta ne može se precizno odrediti. Ovdje znamo samo da za neko razmatrano razdoblje nema ubrzanja. To znači da objekt može ostati na mjestu ili se kretanje odvija konstantnom brzinom.
Zadatak zbrajanja koordinata
Pređimo na zadatke koji se često nalaze u učenju algebre u školi i koji se nude zapriprema za ispit. Slika ispod prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati zbroj bodova ekstrema.
Učinimo to za y-os određivanjem koordinata kritičnih područja u kojima se opaža promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, nalazimo vrijednosti duž x-osi za točke pregiba, a zatim nastavljamo sa dodavanjem rezultirajućih pojmova. Prema grafikonu vidljivo je da imaju sljedeće vrijednosti: -8; -7; -5; -3; -2; jedan; 3. Ovo zbraja do -21, što je odgovor.
Optimalno rješenje
Nije potrebno objašnjavati koliko izbor optimalnog rješenja može biti važan u obavljanju praktičnih zadataka. Uostalom, postoji mnogo načina za postizanje cilja, a najbolji izlaz, u pravilu, je samo jedan. To je iznimno potrebno, na primjer, kod projektiranja brodova, svemirskih letjelica i zrakoplova, arhitektonskih struktura kako bi se pronašao optimalni oblik ovih objekata koje je napravio čovjek.
Brzina vozila uvelike ovisi o kompetentnom minimiziranju otpora koji doživljavaju pri kretanju kroz vodu i zrak, od preopterećenja koja nastaju pod utjecajem gravitacijskih sila i mnogih drugih pokazatelja. Brodu na moru potrebne su kvalitete poput stabilnosti tijekom oluje; za riječni brod važan je minimalni gaz. Prilikom izračunavanja optimalnog dizajna, točke ekstrema na grafu mogu vizualno dati ideju o najboljem rješenju složenog problema. Zadaci ove vrste su čestorješavaju se u gospodarstvu, u gospodarskim područjima, u mnogim drugim životnim situacijama.
Iz antičke povijesti
Ekstremni problemi zaokupljali su čak i drevne mudrace. Grčki znanstvenici uspješno su razotkrili misterij područja i volumena kroz matematičke izračune. Oni su prvi shvatili da na ravnini različitih figura s istim perimetrom krug uvijek ima najveću površinu. Slično, lopta ima najveći volumen među ostalim objektima u prostoru s istom površinom. Takve poznate ličnosti poput Arhimeda, Euklida, Aristotela, Apolonija posvetile su se rješavanju takvih problema. Heron je vrlo dobro uspio pronaći ekstremne točke, koji je, pribjegavši proračunima, izgradio genijalne naprave. To uključuje automatske strojeve koji se kreću pomoću pare, pumpe i turbine koje rade na istom principu.
Izgradnja Kartage
Postoji legenda, čija se radnja temelji na rješavanju jednog od ekstremnih problema. Rezultat poslovnog pristupa koji je pokazala feničanska princeza, koja se obratila mudracima za pomoć, bila je izgradnja Kartage. Zemljište za ovaj drevni i slavni grad Didoni (tako se zvao vladar) poklonio je vođa jednog od afričkih plemena. Površina parcele mu se isprva nije činila jako velikom, budući da je prema ugovoru morala biti prekrivena volovskom kožom. Ali princeza je naredila svojim vojnicima da ga izrežu na tanke trake i od njih naprave pojas. Ispostavilo se da je toliko dugačak da je pokrio stranicu,gdje se cijeli grad uklapa.
Porijeklo računice
A sada prijeđimo iz antičkih vremena u kasniju eru. Zanimljivo je da je Keplera u 17. stoljeću na razumijevanje temelja matematičke analize potaknuo susret s prodavačem vina. Trgovac je bio toliko upućen u svoju profesiju da je lako mogao odrediti volumen pića u bačvi jednostavnim spuštanjem željeznog podveza u nju. Razmišljajući o takvoj zanimljivosti, slavni znanstvenik uspio je sam riješiti ovu dilemu. Pokazalo se da su se vješti bačvari tog vremena navikli na izradu posuda na način da na određenoj visini i polumjeru opsega prstenova za pričvršćivanje imaju maksimalan kapacitet.
Ovo je bio Keplerov razlog za daljnje razmišljanje. Do optimalnog rješenja Bochari su došli dugim traženjem, pogreškama i novim pokušajima, prenoseći svoja iskustva s koljena na koljeno. No Kepler je želio ubrzati proces i naučiti kako to učiniti u kratkom vremenu kroz matematičke izračune. Sav njegov razvoj, koji su pokupili kolege, pretvorio se u sada poznate Fermatove i Newtonove teoreme - Leibniz.
Problem s maksimalnom površinom
Zamislimo da imamo žicu duljine 50 cm. Kako od nje napraviti pravokutnik najveće površine?
Polazeći od odluke, treba poći od jednostavnih i poznatih istina. Jasno je da će opseg naše figure biti 50 cm. Također se sastoji od dvostrukih duljina obiju strana. To znači da, nakon što je jedan od njih označen kao "X", drugi se može izraziti kao (25 - X).
Odavde dobivamopovršina jednaka X (25 - X). Ovaj izraz se može predstaviti kao funkcija koja poprima mnoge vrijednosti. Rješenje problema zahtijeva pronalaženje maksimuma od njih, što znači da trebate saznati točke ekstrema.
Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod i izjednačavamo ga s nulom. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X=0.
Iz njega saznajemo da je jedna od stranica X=12, 5.
Dakle, još jedno: 25 – 12, 5=12, 5.
Ispostavilo se da će rješenje problema biti kvadrat sa stranicom od 12,5 cm.
Kako pronaći maksimalnu brzinu
Razmotrimo još jedan primjer. Zamislite da postoji tijelo čije je pravocrtno gibanje opisano jednadžbom S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, gdje je udaljenost prijeđeno se izražava u metrima, a vrijeme u sekundama. Potrebno je pronaći maksimalnu brzinu. Kako to učiniti? Preuzeto pronađite brzinu, odnosno prvu izvedenicu.
Dobivamo jednadžbu: V=- 3t2 + 18t – 24. Sada, da bismo riješili problem, opet moramo pronaći točke ekstrema. To se mora učiniti na isti način kao u prethodnom zadatku. Pronađite prvu derivaciju brzine i izjednačite je s nulom.
Dobivamo: - 6t + 18=0. Stoga je t=3 s. To je vrijeme kada brzina tijela poprima kritičnu vrijednost. Dobivene podatke zamjenjujemo u jednadžbu brzine i dobivamo: V=3 m/s.
Ali kako razumjeti da je to upravo maksimalna brzina, jer kritične točke funkcije mogu biti njezine maksimalne ili minimalne vrijednosti? Da biste provjerili, morate pronaći drugogderivat brzine. Izražava se kao broj 6 sa predznakom minus. To znači da je pronađena točka maksimum. A u slučaju pozitivne vrijednosti druge derivacije, postojao bi minimum. Dakle, pronađeno rješenje pokazalo se točnim.
Zadaci navedeni kao primjer samo su dio onih koji se mogu riješiti pronalaženjem točaka ekstrema funkcije. Zapravo, ima ih mnogo više. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti ljudskoj civilizaciji.
