Proučavanje funkcija i njihovih grafova tema je kojoj se posvećuje posebna pozornost u okviru srednjoškolskog programa. Neke osnove matematičke analize – diferencijacije – uključene su u profilnu razinu ispita iz matematike. Neki školarci imaju problema s ovom temom, jer brkaju grafove funkcije i derivacije, a zaboravljaju i algoritme. Ovaj članak će pokriti glavne vrste zadataka i kako ih riješiti.
Koja je vrijednost funkcije?
Matematička funkcija je posebna jednadžba. Uspostavlja odnos između brojeva. Funkcija ovisi o vrijednosti argumenta.
Vrijednost funkcije se izračunava prema danoj formuli. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji argument koji odgovara rasponu valjanih vrijednosti u ovoj formuli umjesto x i izvršite potrebne matematičke operacije. Što?
Kako možete pronaći najmanju vrijednost funkcije,pomoću funkcije grafa?
Grafički prikaz ovisnosti funkcije o argumentu naziva se graf funkcije. Izgrađena je na ravnini s određenim jediničnim segmentom, gdje je vrijednost varijable ili argumenta iscrtana duž vodoravne osi apscise, a odgovarajuća vrijednost funkcije duž vertikalne ordinatne osi.
Što je veća vrijednost argumenta, to je više udesno na grafu. A što je veća vrijednost same funkcije, to je viša točka.
Što ovo govori? Najmanja vrijednost funkcije bit će točka koja leži najniže na grafu. Da biste ga pronašli na segmentu grafikona, trebate:
1) Pronađite i označite krajeve ovog segmenta.
2) Vizualno odredite koja točka na ovom segmentu leži najniža.
3) Kao odgovor, zapišite njegovu brojčanu vrijednost, koja se može odrediti projiciranjem točke na y-os.
Ekstremalne točke na grafikonu izvedenice. Gdje pogledati?
Međutim, prilikom rješavanja problema ponekad se ne daje graf funkcije, već njezine derivacije. Kako ne biste slučajno napravili glupu pogrešku, bolje je pažljivo pročitati uvjete, jer ovisi o tome gdje trebate tražiti ekstremne točke.
Dakle, derivacija je trenutna stopa povećanja funkcije. Prema geometrijskoj definiciji, derivacija odgovara nagibu tangente, koja je izravno povučena u danu točku.
Poznato je da je u ekstremnim točkama tangenta paralelna s osi Ox. To znači da je njegov nagib 0.
Iz ovoga možemo zaključiti da u točkama ekstrema derivacija leži na x-osi ili nestaje. Ali osim toga, u tim točkama funkcija mijenja svoj smjer. To jest, nakon razdoblja povećanja, počinje se smanjivati, a derivat se, sukladno tome, mijenja iz pozitivne u negativnu. Ili obrnuto.
Ako derivacija postane negativna iz pozitivne, ovo je maksimalni bod. Ako iz negativnog postane pozitivno - minimalni bod.
Važno: ako trebate navesti minimalnu ili maksimalnu točku u zadatku, tada kao odgovor trebate napisati odgovarajuću vrijednost duž osi apscise. Ali ako trebate pronaći vrijednost funkcije, tada prvo trebate zamijeniti odgovarajuću vrijednost argumenta u funkciju i izračunati je.
Kako pronaći točke ekstrema pomoću izvedenice?
Razmatrani primjeri uglavnom se odnose na zadatak broj 7 ispita, koji uključuje rad s grafom izvedenice ili antiderivata. Ali zadatak 12 USE - pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu (ponekad najveću) - izvodi se bez ikakvih crteža i zahtijeva osnovne vještine matematičke analize.
Da biste to izvršili, morate biti u mogućnosti pronaći točke ekstrema pomoću izvedenice. Algoritam za njihovo pronalaženje je sljedeći:
- Pronađi derivaciju funkcije.
- Postavite na nulu.
- Pronađi korijene jednadžbe.
- Provjerite jesu li dobivene točke ekstremne ili točke pregiba.
Da biste to učinili, nacrtajte dijagram i daljedobiveni intervali određuju predznake derivacije zamjenom brojeva koji pripadaju segmentima u derivaciju. Ako ste prilikom rješavanja jednadžbe dobili korijene dvostruke višestrukosti, to su točke pregiba.
Primjenom teorema odredite koje su točke minimalne, a koje maksimalne
Izračunajte najmanju vrijednost funkcije koristeći derivaciju
Međutim, nakon izvođenja svih ovih radnji, pronaći ćemo vrijednosti minimalne i maksimalne točke duž x-osi. Ali kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Što je potrebno učiniti da se pronađe broj koji odgovara funkciji u određenoj točki? Morate zamijeniti vrijednost argumenta u ovu formulu.
Točke minimuma i maksimuma odgovaraju najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije na segmentu. Dakle, da biste pronašli vrijednost funkcije, trebate izračunati funkciju koristeći dobivene x vrijednosti.
Važno! Ako zadatak zahtijeva da navedete minimalnu ili maksimalnu točku, tada biste kao odgovor trebali napisati odgovarajuću vrijednost duž x-osi. Ali ako trebate pronaći vrijednost funkcije, tada morate prvo zamijeniti odgovarajuću vrijednost argumenta u funkciju i izvesti potrebne matematičke operacije.
Što da radim ako u ovom segmentu nema niskih vrijednosti?
Ali kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu bez točaka ekstrema?
To znači da se funkcija monotono smanjuje ili povećava na njoj. Zatim trebate zamijeniti vrijednost ekstremnih točaka ovog segmenta u funkciju. Postoje dva načina.
1) Nakon izračunaderivaciju i intervale na kojima je ona pozitivna ili negativna, kako bi se zaključilo da li se funkcija smanjuje ili povećava na danom segmentu.
U skladu s njima, zamijenite veću ili manju vrijednost argumenta u funkciju.
2) Jednostavno zamijenite obje točke u funkciju i usporedite rezultirajuće vrijednosti funkcije.
U kojim je zadacima pronalaženje izvedenice izborno
U pravilu, u USE zadacima još uvijek trebate pronaći izvedenicu. Postoji samo nekoliko iznimaka.
1) Parabola.
Vrh parabole nalazi se po formuli.
Ako je < 0, tada su grane parabole usmjerene prema dolje. A njegov vrh je maksimalna točka.
Ako je > 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, vrh je minimalna točka.
Kada ste izračunali točku vrha parabole, trebali biste zamijeniti njezinu vrijednost u funkciju i izračunati odgovarajuću vrijednost funkcije.
2) Funkcija y=tg x. Ili y=ctg x.
Ove funkcije se monotono povećavaju. Stoga, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost same funkcije. Zatim ćemo pogledati kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu s primjerima.
Glavne vrste zadataka
Zadatak: najveća ili najmanja vrijednost funkcije. Primjer na grafikonu.
Na slici vidite graf derivacije funkcije f (x) na intervalu [-6; 6]. U kojoj točki segmenta [-3; 3] f(x) uzima najmanju vrijednost?
Dakle, za početak, trebali biste odabrati navedeni segment. Na njemu funkcija jednom uzima nultu vrijednost i mijenja svoj predznak - ovo je točka ekstrema. Budući da derivacija iz negativne postaje pozitivna, to znači da je ovo minimalna točka funkcije. Ova točka odgovara vrijednosti argumenta 2.
Odgovor: 2.
Nastavite gledati primjere. Zadatak: pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
Pronađi najmanju vrijednost funkcije y=(x - 8) ex-7 na intervalu [6; 8].
1. Uzmi derivaciju kompleksne funkcije.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Izjednačite rezultirajuću derivaciju s nulom i riješite jednadžbu.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ili ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, bez korijena
3. Zamijenite vrijednost ekstremnih točaka u funkciju, kao i dobivene korijene jednadžbe.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Odgovor: -1.
Dakle, u ovom članku razmatrana je glavna teorija o tome kako pronaći najmanju vrijednost funkcije na segmentu, koja je neophodna za uspješno rješavanje USE zadataka u specijaliziranoj matematici. Također elementi matematičkoganalize se koriste pri rješavanju zadataka iz C dijela ispita, ali očito predstavljaju različitu razinu složenosti, a algoritme za njihova rješenja teško je uklopiti u okvire jednog gradiva.
