Sposobnost rada s brojčanim izrazima koji sadrže kvadratni korijen neophodna je za uspješno rješavanje niza problema iz OGE i USE. Na ovim ispitima obično je dovoljno osnovno razumijevanje što je vađenje korijena i kako se to radi u praksi.
Definicija
N-ti korijen broja X je broj x za koji vrijedi jednakost: xn =X.
Pronaći vrijednost izraza s korijenom znači pronaći x zadanih X i n.
Kvadratni korijen ili, što je isto, drugi korijen od X - broj x za koji je jednakost zadovoljena: x2 =X.
Oznaka: ∛H. Ovdje je 3 stupanj korijena, X je izraz korijena. Znak '√' se često naziva radikalom.
Ako broj iznad korijena ne označava stupanj, tada je zadani stupanj 2.
U školskom tečaju za parne stupnjeve, negativni korijeni i radikalni izrazi obično se ne uzimaju u obzir. Na primjer, nema√-2, a za izraz √4, točan odgovor je 2, unatoč činjenici da je (-2)2 također 4.
Racionalnost i iracionalnost korijena
Najjednostavniji mogući zadatak s korijenom je pronaći vrijednost izraza ili ga testirati na racionalnost.
Na primjer, izračunajte vrijednosti √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 jer 52 =25;
- ∛8=2 jer 23 =8;
- ∛ - 125=-5 od (-5)3 =-125.
Odgovori u datim primjerima su racionalni brojevi.
Kada radite s izrazima koji ne sadrže doslovne konstante i varijable, preporuča se uvijek izvesti takvu provjeru korištenjem inverzne operacije dizanja na prirodni stepen. Pronalaženje broja x na n-ti stepen jednako je izračunavanju umnoška n faktora od x.
Postoji mnogo izraza s korijenom čija je vrijednost iracionalna, odnosno napisana kao beskonačan neperiodični razlomak.
Po definiciji, racionalni su oni koji se mogu izraziti kao obični razlomak, a iracionalni su svi ostali realni brojevi.
Ovo uključuje √24, √0, 1, √101.
Ako knjiga zadataka kaže: pronađite vrijednost izraza s korijenom od 2, 3, 5, 6, 7, itd., odnosno od onih prirodnih brojeva koji nisu sadržani u tablici kvadrata, tada je točan odgovor √ 2 može biti prisutan (osim ako nije drugačije navedeno).
Procjena
U problemima saotvoreni odgovor, ako je nemoguće pronaći vrijednost izraza s korijenom i napisati ga kao racionalni broj, rezultat treba ostaviti kao radikal.
Neki zadaci mogu zahtijevati evaluaciju. Na primjer, usporedite 6 i √37. Rješenje zahtijeva kvadriranje oba broja i usporedbu rezultata. Od dva broja veći je onaj čiji je kvadrat veći. Ovo pravilo radi za sve pozitivne brojeve:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- znači √37 > 6.
Na isti način rješavaju se problemi u kojima se nekoliko brojeva mora poredati uzlaznim ili silaznim redoslijedom.
Primjer: Rasporedite 5, √6, √48, √√64 uzlaznim redoslijedom.
Nakon kvadriranja imamo: 25, 6, 48, √64. Mogli bismo sve brojeve ponovno kvadrirati da bismo ih usporedili s √64, ali to je jednako racionalnom broju 8. 6 < 8 < 25 < 48, pa je rješenje: 48.
Pojednostavljivanje izraza
Dešava se da je nemoguće pronaći vrijednost izraza s korijenom, pa se mora pojednostaviti. Sljedeća formula pomaže u tome:
√ab=√a√b.
Korijen umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku njihovih korijena. Ova operacija će također zahtijevati mogućnost faktorizacije broja.
U početnoj fazi, kako bi se ubrzao rad, preporuča se imati pri ruci tablicu prostih brojeva i kvadrata. Ove tablice s čestimkorištenje u budućnosti bit će zapamćeno.
Na primjer, √242 je iracionalan broj, možete ga pretvoriti na sljedeći način:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Obično se rezultat piše kao 11√2 (čitaj: jedanaest korijena od dva).
Ako je teško odmah vidjeti na koja dva faktora broj treba razložiti kako bi se iz jednog od njih mogao izdvojiti prirodni korijen, možete upotrijebiti potpunu dekompoziciju na proste faktore. Ako se isti prosti broj pojavi dvaput u proširenju, izbacuje se iz predznaka korijena. Kada postoji mnogo čimbenika, korijen možete izdvojiti u nekoliko koraka.
Primjer: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Broj 2 pojavljuje se u proširenju 2 puta (u stvari, više od dva puta, ali nas još uvijek zanimaju prva dva pojavljivanja u proširenju).
Vadimo ga ispod znaka korijena:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ponovite istu radnju:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
U preostalom radikalnom izrazu, 2 i 3 se pojavljuju jednom, tako da ostaje ukloniti faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
i izvršite aritmetičke operacije:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Dakle, dobivamo √2400=20√6.
Ako u zadatku nije izričito navedeno: "pronađi vrijednost izraza s kvadratnim korijenom", tada je izbor,u kojem obliku ostaviti odgovor (treba li izvući korijen ispod radikala) ostaje za studenta i može ovisiti o problemu koji se rješava.
U početku se postavljaju visoki zahtjevi za izradu zadataka, izračun, uključujući usmeno ili pismeno, bez upotrebe tehničkih sredstava.
Tek nakon dobrog savladavanja pravila za rad s iracionalnim numeričkim izrazima, ima smisla prijeći na teže doslovne izraze i na rješavanje iracionalnih jednadžbi i izračunavanje raspona mogućih vrijednosti izraza pod radikalno.
S ovom vrstom problema studenti se susreću na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, kao i na prvoj godini specijaliziranih sveučilišta prilikom studiranja matematičke analize i srodnih disciplina.
